【題目】(本小題共14分)

如圖,在四棱錐中, 平面,底面是菱形, .

()求證: 平面

)若所成角的余弦值;

)當(dāng)平面與平面垂直時,求的長.

【答案】:證明:()因為四邊形ABCD是菱形,所以又因為平面。所以,

所以平面。

)設(shè),因為

所以,如圖,以O為坐標(biāo)原點,建立空間直角坐標(biāo)系,則設(shè)所成角為,則

)由()知設(shè)。則設(shè)平面的法

向量,所以,

所以同理,平面的法向量,因為平面,所以,即解得,所以

【解析】試題分析:()因為四邊形ABCD是菱形,可得ACBD,又因為PA平面ABCD,可得PABD. 根據(jù)線面垂直的判定定理即可得到結(jié)果;()設(shè)AC∩BD=O,因為BAD=60°,PA=AB=2, 所以BO=1AO=CO=,故以O為坐標(biāo)原點,OBX軸,OCY軸建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz,可得設(shè)PBAC所成角為,利用夾角公式即可求出結(jié)果.)由()知,設(shè)P0,-,t)(t>0),則,求出平面PBC的法向量為,平面PDC的法向量,因為平面PCB平面PDC,所以=0,建立方程,即可求出PA的值.

試題解析:證明:()因為四邊形ABCD是菱形,

所以AC⊥BD.

又因為PA⊥平面ABCD.

所以PABD. 又因為

所以BD⊥平面PAC.

解:()設(shè)AC∩BD=O.

因為∠BAD=60°,PA="AB=2,"

所以BO=1AO=CO=.

O為坐標(biāo)原點,OBX軸,OCY軸建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz,則P0, ,2),A0,0),B10,0),C0, ,0.

所以

設(shè)PBAC所成角為,則

.

解:()由()知

設(shè)P0,-,t)(t>0),則

設(shè)平面PBC的法向量,

所以所以

同理,平面PDC的法向量

因為平面PCB⊥平面PDC,所以=0,即

解得,所以PA=

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