已知數(shù)列{a
n}的前n項和S
n是二項式（1+2x）
2n（n∈N
*）展開式中含x奇次冪的系數(shù)和．
（1）求數(shù)列{a
n}的通項公式；
（2）設(shè)f（n）=
，求c
n=f（0）+f（
）+f（
）+…+f（
），求
+
+…+
的值．
【答案】
分析：（1）記（1+2x）
2n=a
+a
1x+…+a
2nx
2n，利用賦值可分別令x=1得：3
2n=a
+a
1+…+a
2n，令x=-1得：1=a
-a
1+a
2-a
3+…-a
2n-1+a
2n兩式相減得：3
2n-1=2（a
1+a
3+…+a
2n-1），從而可求
（2）由（1）可得
，注意到f（n）+f（1-n）=
，從而可考慮利用倒序相加求和，再利用裂項法可求
+
+…+
的值
解答：（1）解：記（1+2x）
2n=a
+a
1x+a
2x
2+…+a
2n-1x
2n-1+a
2nx
2n
令x=1得：3
2n=a
+a
1+a
2+…+a
2n-1+a
2n
令x=-1得：1=a
-a
1+a
2-…-a
2n-1+a
2n
兩式相減得：3
2n-1=2（a
1+a
3+…+a
2n-1）
∴S
n=
（9
n-1）（4分）
當(dāng)n≥2時，a
n=S
n-S
n-1=4×9
n-1當(dāng)n=1時，a
1=S
1=4，適合上式
∴a
n=4×9
n-1（n∈N） （6分）
（2）解：f（n）=
=
注意到f（n）+f（1-n）=
+
=
+
=
（8分）
c
n=f（0）+f（
）+f（
）+…+f（
），
可改寫為c
n=f（
）+f（
）+…+f（
）+f（0）
∴2c
n=[f（0）+f（
）]+[f（
）+f（
）]+…+[f（
）+f（
）]+[f（
）+f（0）]
故c
n=
，即f（0）+f（
）+f（
）+…+f（
）=
（8分）
∴
=
=36×（
-
）
+
+…+
=36×[（
-
）+（
-
）+…+（
-
） （12分）
=36×（
-
）]=18-
（14分）
點評：本題以數(shù)列為載體，主要考查了利用賦值法求二項展開式的系數(shù)，及數(shù)列求和中的倒序相加、裂項求和等方法的應(yīng)用．
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