如圖，在△ABC中，若
BC
=
a
，
AC
=
b
，
AB
=
c
，且
|b|
=2
3
，
a
•cosA+
c
•cosC=
b
•sinB．
（1）斷△ABC的形狀；
（2）求
a
•
c
的值．
分析：（1）由
b
=
a
+
c
代入
a
•cosA+
c
•cosC=
b
•sinB可得
a
(cosA-sinB)=
c
(sinB-cosC)，由向量的基本定理可得
cosA-sinB=0
sinB-cosC=0
，從而可證
（2）由三角形的內角和定理可知，A=
1
2
π-
1
2
B，結合（1）知cosA=cos（
1
2
π-
1
2
B）=sin
1
2
B=sinB，從而可求B，A，C，然后由正弦定理可得，
AC
sin
2π
3
=
BC
sin
π
6
可求BC，代入向量的數(shù)量積
a
•
c
=|
AB
||
BC
|cos(π-
2π
3
)可求
解答：解：（1）∵
AC
=
AB
+
BC
，
BC
=
a
，
AC
=
b
，
AB
=
c
，
∴
b
=
a
+
c

∵
a
•cosA+
c
•cosC=
b
•sinB
∴
a
•cosA+
c
•cosC= (
a
+
c
)sinB
∴
a
(cosA-sinB)=
c
(sinB-cosC)
∵
a
，
c
是兩不共線的向量
∴
cosA-sinB=0
sinB-cosC=0

∴cosA=cosC
∵0＜A，C＜π
∴A=C，△ABC為等腰三角形
（2）在等腰三角形中，A+B+C=π，A=C
2A+B=π即A=
1
2
π-
1
2
B
由（1）知cosA=cos（
1
2
π-
1
2
B）=sin
1
2
B=sinB=2sin
1
2
Bcos
1
2
B
∴cos
1
2
B=
1
2

∵0＜
1
2
B＜
1
2
π
∴
1
2
B=
π
3

∴B=
2π
3

∴A=C=
π
6

由正弦定理可得，
AC
sin
2π
3
=
BC
sin
π
6

∴|
BC
|=2
∴
a
•
c
=|
AB
||
BC
|cos(π-
2π
3
)=2×2×
1
2
=2
點評：本題主要考查了向量的基本運算、向量基本定理的應用，三角形的誘導公式、正弦定理等知識的綜合應用，解答本題的關鍵除了熟練掌握基本知識外，更要具備綜合應用知識的能力
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網如圖，在△ABC中，已知∠ABC=90°，AB上一點E，以BE為直徑的⊙O恰與AC相切于點D，若AE=2cm，
AD=4cm．
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（2）計算：△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網如圖，在△ABC中，D是邊AC上的點，且AB=AD，2AB=
3
BD，BC=2BD，則sinC的值為（　�。�
A、
3
3
B、
3
6
C、
6
3
D、
6
6

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在△ABC中，設
AB
=a，
AC
=b，AP的中點為Q，BQ的中點為R，CR的中點恰為P．
（Ⅰ）若
AP
=λa+μb，求λ和μ的值；
（Ⅱ）以AB，AC為鄰邊，AP為對角線，作平行四邊形ANPM，求平行四邊形ANPM和三角形ABC的面積之比
S平行四邊形ANPM
S△ABC
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在△ABC中，∠B=45°，D是BC邊上的一點，AD=5，AC=7，DC=3．
（1）求∠ADC的大�。�
（2）求AB的長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在△ABC中，已知
BD
=2
DC
，則
AD
=（　�。�

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