設(shè)函數(shù)f（x）=x+
alnxx
，其中a為常數(shù)．
（1）y=f（x）的圖象是否經(jīng)過一個定點，若是，寫出該定點坐標(biāo)．
（2）當(dāng)a=-1時，判斷函數(shù)是否存在極值？若存在，證明你的結(jié)論并求出所有極值；若不存在，說明理由．
分析：（1）把f（x）代入到F（x）中化簡得到F（x）的解析式求出F（x）的最小值即可；
（2）把a=-1代入得f（x）的解析式，求出f′（x）=0時x=1，因為x＞0，所以在（0，1）和（1，+∞）上討論函數(shù)的增減性，即可得到函數(shù)的極值．
解答：解：（1）令lnx=0，得x=1，且f（1）=1，所以y=f（x）的圖象恒過定點（1，1）；
（2）當(dāng)a=-1時，f(x)=x-
lnx
x
，x＞0，
則f/(x)=1-
1-lnx
x2
=
x2+lnx-1
x2

經(jīng)觀察得f′（x）=0有根x=1，
令g（x）=x2+lnx-1，g/(x)=2x+
1
x

當(dāng)x＞0時，g′（x）＞0，
即y=g（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)．
所以f′（x）=0有唯一根x=1．
當(dāng)x∈（0，1）時，f/(x)=
g(x)
x2
＜
g(1)
x2
=0，f（x）在（0，1）上是減函數(shù)；
當(dāng)x∈（1，+∞）時，f/(x)=
g(x)
x2
＞
g(1)
x2
=0，f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．
∴x=1是f（x）的唯一極小值點．極小值是f(1)=1-
ln1
1
=1．
點評：本題考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為
2
，求a的值；
（2）關(guān)于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）對于函數(shù)f（x）與g（x）定義域上的任意實數(shù)x，若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”．設(shè)a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為A，若存在非零實數(shù)t，使得對于任意x∈C（C⊆A），有x+t∈A，且f（x+t）≤f（x），則稱f（x）為C上的t低調(diào)函數(shù)．如果定義域為[0，+∞）的函數(shù)f（x）=-|x-m2|+m2，且 f（x）為[0，+∞）上的10低調(diào)函數(shù)，那么實數(shù)m的取值范圍是（　�。�
A、[-5，5]
B、[-
5
，
5
]
C、[-
10
，
10
]
D、[-
5
2
，
5
2
]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•深圳一模）已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設(shè)曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設(shè)g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設(shè)h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（x+2）=f（x）恒成立；當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=x3-4x+3．有下列命題：
①f(-
3
4
) ＜f(
15
2
)；
②當(dāng)x∈[-1，0]時f（x）=x3+4x+3；
③f（x）（x≥0）的圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo)由小到大構(gòu)成一個無窮等差數(shù)列；
④關(guān)于x的方程f（x）=|x|在x∈[-3，4]上有7個不同的根．
其中真命題的個數(shù)為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：徐州模擬 題型：解答題

設(shè)函數(shù)f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為2
2
，求a的值；
（2）關(guān)于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）對于函數(shù)f（x）與g（x）定義域上的任意實數(shù)x，若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”．設(shè)a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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