Question

【題目】在意大利，有一座滿是“斗笠”的灰白小鎮(zhèn)阿爾貝羅貝洛（Alberobello），這些圓錐形屋頂?shù)钠嫣匦∥菝��?/span>Trullo，于1996年被收入世界文化遺產(chǎn)名錄（如圖1）.現(xiàn)測(cè)量一個(gè)屋頂，得到圓錐SO的底面直徑AB長(zhǎng)為12m，母線SA長(zhǎng)為18m（如圖2）.C，D是母線SA的兩個(gè)三等分點(diǎn)（點(diǎn)D靠近點(diǎn)A），E是母線SB的中點(diǎn).

（1）從點(diǎn)A到點(diǎn)C繞屋頂側(cè)面一周安裝燈光帶，求燈光帶的最小長(zhǎng)度；

（2）現(xiàn)對(duì)屋頂進(jìn)行加固，在底面直徑AB上某一點(diǎn)P，向點(diǎn)D和點(diǎn)E分別引直線型鋼管PD和PE.試確定點(diǎn)P的位置，使得鋼管總長(zhǎng)度最小.

Answer 1

【答案】（1）；（2）時(shí)，的最小值為

【解析】

（1）將側(cè)面沿母線展開，點(diǎn)對(duì)于與，連接，則為最小長(zhǎng)度，在中由余弦定理計(jì)算可得.

（2）建立平面直角坐標(biāo)系，求出關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出距離最小值，利用點(diǎn)斜式求出直線方程，即可求出的坐標(biāo).

解：（1）將側(cè)面沿母線展開，點(diǎn)對(duì)于與，連接，則為最小長(zhǎng)度；

因?yàn)?/span>，，則，設(shè)

，，

在中由余弦定理可得

即

即燈光帶的最小長(zhǎng)度為（）

（2）如圖建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)?/span>，

所以，，，因?yàn)?/span>是的三等分點(diǎn)（靠近）

所以，又是的中點(diǎn)，所以

則關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)為

連接與軸交點(diǎn)，則的最小值為

直線的方程為

令則

即時(shí)，的最小值為