【題目】如圖,在南北方向有一條公路,一半徑為100的圓形廣場(chǎng)(圓心為)與此公路所在直線相切于點(diǎn),點(diǎn)為北半圓。ɑ)上的一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作直線的垂線,垂足為,計(jì)劃在內(nèi)(圖中陰影部分)進(jìn)行綠化,設(shè)的面積為(單位:),
(1)設(shè),將表示為的函數(shù);
(2)確定點(diǎn)的位置,使綠化面積最大,并求出最大面積.
【答案】(1),.
(2)當(dāng)點(diǎn)p距公路邊界為時(shí),綠化面積最大,.
【解析】
(1)由三角函數(shù)的定義可用表示AQ,PQ,從而代入三角形面積公式,得答案;
(2)對(duì)(1)問(wèn)中函數(shù)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)求得最大值,得答案.
(1)由題可知,,,.
則的面積
,.
(2)
令,則或(舍),此時(shí).
當(dāng)時(shí),,,關(guān)于為增函數(shù).
當(dāng)時(shí),,,關(guān)于為減函數(shù).
所以當(dāng)時(shí),,
此時(shí).
故:當(dāng)點(diǎn)p距公路邊界為時(shí),綠化面積最大,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某個(gè)地區(qū)計(jì)劃在某水庫(kù)建一座至多安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的水電站,過(guò)去50年的水文資料顯示,水的年入流量(年入流量:一年內(nèi)上游來(lái)水與庫(kù)區(qū)降水之和,單位:十億立方米)都在4以上,其中,不足8的年份有10年,不低于8且不超過(guò)12的年份有35年,超過(guò)12的年份有5年,將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率,并假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立.
(1)求未來(lái)4年中,至多有1年的年入流量超過(guò)12的概率;
(2)若水的年入流量與其蘊(yùn)含的能量(單位:百億萬(wàn)焦)之間的部分對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)為如下表所示:
年入流量 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 |
蘊(yùn)含的能量 | 1.5 | 2.5 | 3.5 | 5 | 7.5 |
用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程;(回歸方程系數(shù)用分?jǐn)?shù)表示)
(3)水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行,但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)受年入流量限制,并有如下關(guān)系:
年入流量 | |||
發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù) | 1 | 2 | 3 |
若某臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,則該臺(tái)年利潤(rùn)為5000萬(wàn)元;若某臺(tái)發(fā)電機(jī)未運(yùn)行,則該臺(tái)年虧損800萬(wàn)元,欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大,應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺(tái)?
附:回歸方程系數(shù)公式:,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知正方體的外接球O的半徑為,則過(guò)該正方體的三個(gè)頂點(diǎn)的平面截球O所得的截面的面積為( )
A.2π或B.3π或
C.2π或3πD.2π或3π或
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,一個(gè)湖的邊界是圓心為O的圓,湖的一側(cè)有一條直線型公路l,湖上有橋AB(AB是圓O的直徑).規(guī)劃在公路l上選兩個(gè)點(diǎn)P、Q,并修建兩段直線型道路PB、QA.規(guī)劃要求:線段PB、QA上的所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑.已知點(diǎn)A、B到直線l的距離分別為AC和BD(C、D為垂足),測(cè)得AB=10,AC=6,BD=12(單位:百米).
(1)若道路PB與橋AB垂直,求道路PB的長(zhǎng);
(2)在規(guī)劃要求下,P和Q中能否有一個(gè)點(diǎn)選在D處?并說(shuō)明理由;
(3)對(duì)規(guī)劃要求下,若道路PB和QA的長(zhǎng)度均為d(單位:百米).求當(dāng)d最小時(shí),P、Q兩點(diǎn)間的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,某城市小區(qū)有一個(gè)矩形休閑廣場(chǎng),米,廣場(chǎng)的一角是半徑為米的扇形綠化區(qū)域,為了使小區(qū)居民能夠更好的在廣場(chǎng)休閑放松,現(xiàn)決定在廣場(chǎng)上安置兩排休閑椅,其中一排是穿越廣場(chǎng)的雙人靠背直排椅(寬度不計(jì)),點(diǎn)在線段上,并且與曲線相切;另一排為單人弧形椅沿曲線(寬度不計(jì))擺放.已知雙人靠背直排椅的造價(jià)每米為元,單人弧形椅的造價(jià)每米為元,記銳角,總造價(jià)為元.
(1)試將表示為的函數(shù),并寫(xiě)出的取值范圍;
(2)如何選取點(diǎn)的位置,能使總造價(jià)最小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,有一塊半圓形空地,開(kāi)發(fā)商計(jì)劃建造一個(gè)矩形游泳池及左右兩側(cè)兩個(gè)大小相同的矩形休息區(qū),其中半圓的圓心為,半徑為,矩形的一邊在上,矩形的一邊在上,點(diǎn)在圓周上,在直徑上,且,設(shè).若每平方米游泳池的造價(jià)和休息區(qū)造價(jià)分別為和.
(1)記游泳池及休息區(qū)的總造價(jià)為,求的表達(dá)式;
(2)為進(jìn)行投資預(yù)算,當(dāng)為何值時(shí),總造價(jià)最大?并求出總造價(jià)的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn),證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中分正品與次品,正品重,次品重,現(xiàn)有5袋產(chǎn)品(每袋裝有10個(gè)產(chǎn)品),已知其中有且只有一袋次品(10個(gè)產(chǎn)品均為次品)如果將5袋產(chǎn)品以1~5編號(hào),第袋取出個(gè)產(chǎn)品(),并將取出的產(chǎn)品一起用秤(可以稱(chēng)出物體重量的工具)稱(chēng)出其重量,若次品所在的袋子的編號(hào)是2,此時(shí)的重量_________;若次品所在的袋子的編號(hào)是,此時(shí)的重量_______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性并指出相應(yīng)單調(diào)區(qū)間;
(2)若,設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn),若,且恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
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