【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線(xiàn)段AD上一點(diǎn),AM=2MD,N為PC的中點(diǎn).

(1)證明:MN∥平面PAB;
(2)求直線(xiàn)AN與平面PMN所成角的正弦值.

【答案】
(1)證明:法一、如圖,取PB中點(diǎn)G,連接AG,NG,

∵N為PC的中點(diǎn),

∴NG∥BC,且NG= BC,

又AM= ,BC=4,且AD∥BC,

∴AM∥BC,且AM= BC,

則NG∥AM,且NG=AM,

∴四邊形AMNG為平行四邊形,則NM∥AG,

∵AG平面PAB,NM平面PAB,

∴MN∥平面PAB;

法二、

在△PAC中,過(guò)N作NE⊥AC,垂足為E,連接ME,

在△ABC中,由已知AB=AC=3,BC=4,得cos∠ACB= ,

∵AD∥BC,

∴cos ,則sin∠EAM=

在△EAM中,

∵AM= ,AE= ,

由余弦定理得:EM= = ,

∴cos∠AEM= ,

而在△ABC中,cos∠BAC= ,

∴cos∠AEM=cos∠BAC,即∠AEM=∠BAC,

∴AB∥EM,則EM∥平面PAB.

由PA⊥底面ABCD,得PA⊥AC,又NE⊥AC,

∴NE∥PA,則NE∥平面PAB.

∵NE∩EM=E,

∴平面NEM∥平面PAB,則MN∥平面PAB


(2)解:在△AMC中,由AM=2,AC=3,cos∠MAC= ,得CM2=AC2+AM2﹣2ACAMcos∠MAC=

∴AM2+MC2=AC2,則AM⊥MC,

∵PA⊥底面ABCD,PA平面PAD,

∴平面ABCD⊥平面PAD,且平面ABCD∩平面PAD=AD,

∴CM⊥平面PAD,則平面PNM⊥平面PAD.

在平面PAD內(nèi),過(guò)A作AF⊥PM,交PM于F,連接NF,則∠ANF為直線(xiàn)AN與平面PMN所成角.

在Rt△PAC中,由N是PC的中點(diǎn),得AN= = ,

在Rt△PAM中,由PAAM=PMAF,得AF= ,

∴sin

∴直線(xiàn)AN與平面PMN所成角的正弦值為


【解析】(1)法一、取PB中點(diǎn)G,連接AG,NG,由三角形的中位線(xiàn)定理可得NG∥BC,且NG= BC,再由已知得AM∥BC,且AM= BC,得到NG∥AM,且NG=AM,說(shuō)明四邊形AMNG為平行四邊形,可得NM∥AG,由線(xiàn)面平行的判定得到MN∥平面PAB;
法二、證明MN∥平面PAB,轉(zhuǎn)化為證明平面NEM∥平面PAB,在△PAC中,過(guò)N作NE⊥AC,垂足為E,連接ME,由已知PA⊥底面ABCD,可得PA∥NE,通過(guò)求解直角三角形得到ME∥AB,由面面平行的判定可得平面NEM∥平面PAB,則結(jié)論得證;(2)連接CM,證得CM⊥AD,進(jìn)一步得到平面PNM⊥平面PAD,在平面PAD內(nèi),過(guò)A作AF⊥PM,交PM于F,連接NF,則∠ANF為直線(xiàn)AN與平面PMN所成角.然后求解直角三角形可得直線(xiàn)AN與平面PMN所成角的正弦值.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用直線(xiàn)與平面平行的判定和空間角的異面直線(xiàn)所成的角的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案,需要掌握平面外一條直線(xiàn)與此平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行,則該直線(xiàn)與此平面平行;簡(jiǎn)記為:線(xiàn)線(xiàn)平行,則線(xiàn)面平行;已知為兩異面直線(xiàn),A,C與B,D分別是上的任意兩點(diǎn),所成的角為,則

練習(xí)冊(cè)系列答案
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圖:

將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于40分鐘的觀眾稱(chēng)為體育迷”.

)根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表,并據(jù)此資料,在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下,你是否有理由認(rèn)為體育迷與性別有關(guān)?


非體育迷

體育迷

合計(jì)







10

55

合計(jì)




)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率,現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中,采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1名觀眾,抽取3次,記被抽取的3名觀眾中的體育迷人數(shù)為.若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的,求的分布列,期望和方差.

附:







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(Ⅰ)當(dāng)的準(zhǔn)線(xiàn)與直線(xiàn)的距離為時(shí),求的方程;

(Ⅱ)設(shè)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn) 兩點(diǎn),交, 兩點(diǎn)。當(dāng)時(shí),求的值。

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