Question

選修4­2：矩陣與變換
已經矩陣M＝．
(1)求直線4x－10y＝1在M作用下的方程；
(2)求M的特征值與特征向量．

Answer 1

(1) ．
(2)當λ₁＝4時，由Mα₁＝λ₁α₁，得特征向量α₁＝；
當λ₂＝5時，由Mα₂＝λ₂α₂，得特征向量α₂＝．

本試題主要是考查了矩陣的運算，以及特征向量的求解和特征多項式的表示的綜合運用。
（1）因為M＝．設直線上任意一點在作用下對應點，則  ＝ ，
（2）因為矩陣M的特征多項式f(λ)＝＝(λ－4)(λ－5)＝0，進而討論得到特征向量。
(1)因為M＝． 設直線上任意一點在作用下對應點，則  ＝ ，………………………………………………………………２分
即，所以，代入，得，即，
所以所求曲線的方程為．……………………………………………………………4分
(2)矩陣M的特征多項式f(λ)＝＝(λ－4)(λ－5)＝0，
所以M的特征值為λ₁＝4，λ₂＝5． …………………………………………………………6分
當λ₁＝4時，由Mα₁＝λ₁α₁，得特征向量α₁＝；
當λ₂＝5時，由Mα₂＝λ₂α₂，得特征向量α₂＝．…………………………………………10分