Question

若對函數(shù)y=f（x）定義域內(nèi)的每一個值x₁，都存在唯一的值x₂，使得f（x₁）f（x₂）=1成立，則稱此函數(shù)為“黃金函數(shù)”，給出下列三個命題：
①y=x^-2是“黃金函數(shù)”；
②y=lnx是“黃金函數(shù)”；
③y=2^x是“黃金函數(shù)”，
其中正確命題的序號是

③

．

Answer 1

分析：由題意知若使得f（x₁）f（x₂）=1成立的函數(shù)一定是單調(diào)函數(shù)，①不是單調(diào)函數(shù)，不合題意．因為對于函數(shù)f（x）=lnx當x₁=1時，不存在x₂使得f（x₁）f（x₂）=1成立．得到結(jié)果．

解答：解：由題設知，對于f（x）定義域內(nèi)的任意一個自變量x₁，存在定義域內(nèi)的唯一一個自變量x₂，使得f（x₁）f（x₂）=1成立的函數(shù)一定是單調(diào)函數(shù)，否則可能存在定義域內(nèi)的不止一個自變量x₂，使得f（x₁）f（x₂）=1成立．
∵①不是單調(diào)函數(shù)，不合題意．
②因為對于函數(shù)f（x）=lnx，當x₁=1時，不存在x₂使得f（x₁）f（x₂）=1成立，
對于③f（x）=2^x，滿足對于f（x）定義域內(nèi)的任意一個自變量x₁，都存在定義域內(nèi)的唯一一個自變量x₂=-x₁使得f（x₁）f（x₂）=1成立，故③滿足題意；
∴由此可知，滿足條件的函數(shù)有③．
故答案為：③．

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的特殊點的值，本題解題的關鍵是看出函數(shù)的單調(diào)性，并且注意函數(shù)自變量特殊值的性質(zhì)，本題是一個中檔題目．