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（本題滿分16分）

設函數.

（Ⅰ） 判斷在區(qū)間上的增減性并證明之；

（Ⅱ） 若不等式≤≤對恒成立, 求實數的取值范圍M；

（Ⅲ）設≤≤，且，求證：≥.

解：(Ⅰ)∵  ∴…1分

    設 則  ……2分

∴在上為減函數  又    時，，

∴ ∴在上是減函數                        ………4分

(Ⅱ)∵ ∴或時

 ∴…………………………6分

又≤≤對一切恒成立 ，∴≤≤      ……………8分

（Ⅲ）顯然當或時，不等式成立              ………………………10分

當，原不等式等價于≥ ………11分

下面證明一個更強的不等式：≥…①

即≥……②亦即≥ ……………………13分

由(1) 知在上是減函數   又  ∴

∴不等式②成立，從而①成立  又

∴＞

綜上有≤≤且≤≤時，原不等式成立     …………………………16分

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本題滿分16分）兩個數列{an}，{bn}，滿足bn=
a1+2a2+3a3+…+nan
1+2+3+…+n
．★（參考公式1+22+32+…+n2=
n(n+1)(2n+1)
6
）
求證：{bn}為等差數列的充要條件是{an}為等差數列．

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（2）求的取值范圍，使得．

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（本題滿分16分；第（1）小題5分，第（2）小題5分，第三小題6分）

已知函數

（1）判斷并證明在上的單調性；

（2）若存在，使，則稱為函數的不動點，現已知該函數有且僅有一個不動點，求的值；

（3）若在上恒成立 , 求的取值范圍．

 

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