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已知各項均為正數的數列{an}滿足an+12=2an2+anan+1,a2+a4=2a3+4,其中n∈N*
(Ⅰ)求數{an}的通項公式;
(Ⅱ)設數{bn}的前n項和Tn,令bn=an2,其中n∈N*,試比較的大小,并加以證明.
【答案】分析:(Ⅰ)由an+12=2an2+anan+1,移項分角因式得(an+1+an)(2an-an+1)=0,得2an=an+1,得出數列{an}是公比為2的等比數列,由a2+a4=2a3+4得a1=2,
用等比數列的通項公式得出數列{an}的通項公式;
(Ⅱ)由(Ⅰ)得bn=an2=22n=4n,得數列{bn}是首項為4,公比是4的等比數列,由等比數列的前n項和求出Tn,進一步表示出,兩者作差,不能判號的那部分用數學歸納法來證:第一步,n=1時,不等式成立,第二步,假設n=k時,結論成立,下面證明n=k+1時也成立.
解答:解:(Ⅰ)因為an+12=2an2+anan+1,即(an+1+an)(2an-an+1)=0
又an>0,所以有2an-an+1=0,所以2an=an+1
所以數列{an}是公比為2的等比數列(2分)
由a2+a4=2a3+4得2a1+8a1=8a1+4,解得a1=2
故數列{an}的通項公式為an=2n(n∈N*)(4分)
(Ⅱ)因bn=an2=22n=4n,所以b1=4,=4
即數列{bn}是首項為4,公比是4的等比數列
所以Tn=(4n-1)(6分)
==1+

=
猜想:7•4n-1>3n+1(8分)
①當n=1時,7•4=7>3×1+1=4,上面不等式顯然成立;
②假設當n=k時,不等式7•4k-1>3k+1成立(9分)
當n=k+1時,
7×4k=4×7×4k-1>4(3k+1)=12k+4>3k+4=3(k+1)+1
綜上①②對任意的n∈N+均有7•4n-1>3n+1(11分)
又4n-1>0,4n-1>0

所以對任意的n∈N+均有(12分)
點評:本題難點之一是求數{an}的通項公式時,要把題干中的等式變形得到相鄰兩項的關系;難點之二在于要計算出兩個復雜的式子,在學生的計算能力越來越弱的情況下,這個實屬不易;難點之三在于作差比較大小,得出的結果不能判別符號,不少學生在此會放棄;難點之四在于要想到用數學歸納法來證明差中的一部分.
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(Ⅰ)求數{an}的通項公式;
(Ⅱ)設數{bn}的前n項和Tn,令bn=an2,其中n∈N*,試比較
Tn+1+12
4Tn
2log2bn+1+2
2log2bn-1
的大小,并加以證明.

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