已知函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù),且x>0時,f(x)=-x2+2x.
(1)求f(x)的解析式;
(2)在給出的直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)的圖象,并求不等式f(x)<0的解集;
(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,|a|-2]上單調(diào)遞增,試確定a的取值范圍.
分析:(1)設(shè)x<0,得到-x>0,代入x>0時的解析式化簡可得x<0時的解析式,又定義在實數(shù)集上的奇函數(shù)有
f(0)=0,所以分段函數(shù)f(x)的解析式可求;
(2)利用二次函數(shù)的頂點及與x軸的交點作出簡圖,然后由圖象得到不等式f(x)<0的解集;
(3)借助于二次函數(shù)的圖象,分析得到區(qū)間右端點的范圍,解絕對值得不等式得到a的取值范圍.
解答:解:(1)當(dāng) x<0時,-x>0,
∴f(x)=-f(-x)=-[-(-x)2+2(-x)=x2+2x;
又函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù),∴f(0)=0
∴f(x)的解析式為:f(x)=
-x2+2x(x>0)
0(x=0)
x2+2x(x<0)

(2)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,
根據(jù)f(x)的圖象可知,不等式f(x)<0的解集是:{x|-2<x<0,或x>2};
(3)由圖象可知,f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞增,要使f(x)在區(qū)間[-1,|a|-2]上單調(diào)遞增,
則只需:-1<|a|-2≤1,解得-3≤a<-1,或1<a≤3,
∴a的取值范圍是:{a|-3≤a<-1,或1<a≤3}.
點評:本題考查了二次函數(shù)的圖象,考查了二次函數(shù)的性質(zhì),數(shù)形結(jié)合有助于我們的解題,形象直觀,此題是中檔題.
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(-∞,-1)∪(2,+∞)

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已知函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù).
(1)證明:f(x)=f(|x|)
(2)若當(dāng)x≥0時,f(x)是單調(diào)函數(shù),求滿足f(x)=f(
x+3x+4
)
的所有x之和.

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