Question

設(shè)平面內(nèi)的向量

OA

=(1，7)，

OB

=(5，1)，

OM

=(2，1)，點(diǎn)P是直線OM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求當(dāng)

PA

•

PB

取最小值時(shí)，

OP

的坐標(biāo)及∠APB的余弦值．

Answer 1

分析：可設(shè)

OP

=（x，y），由

OP

與

OM

共線可得x=2y，進(jìn)而可得

PA

•

PB

=5y²-20y+12，可知當(dāng)y=2時(shí)取最小值，可得

OP

的坐標(biāo)，而∠APB的余弦值等于

PA • PB

| PA || PB |

，代入坐標(biāo)可求．

解答：解：由題意，可設(shè)

OP

=（x，y），∵點(diǎn)P在直線OM上，
∴

OP

與

OM

共線，而

OM

=(2，1)，
∴x-2y=0，即x=2y，故

OP

=（2y，y），
又

PA

=

OA

-

OP

=（1-2y，7-y），

PB

=

OB

-

OP

=（5-2y，1-y），
所以

PA

•

PB

=（1-2y）（5-2y）+（7-y）（1-y）=5y²-20y+12，
當(dāng)y=-

-20

2×5

=2時(shí)，

PA

•

PB

=5y²-20y+12取最小值-8，
此時(shí)

OP

=（4，2），

PA

=（-3，5），

PB

=（1，-1），
∴cos∠APB=

PA • PB

| PA || PB |

=

-8

34 2

=-

4 17

17

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量共線的條件，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，數(shù)量積的坐標(biāo)表示，向量的模的求法及利用數(shù)量積計(jì)算夾角的余弦，綜合性強(qiáng)，屬中檔題．