Question

已知

a

=(2sin(x+

θ

2

)，

3

)，

b

=(cos(x+

θ

2

)，2cos2(x+

θ

2

))，f(x)=

a

•

b

-

3

（1）求f（x）的解析式；
（2）若0≤θ≤π，求θ，使f（x）為偶函數(shù)；
（3）在（2）的條件下，求滿足f（x）=1，x∈[-π，π]的x的集合．

Answer 1

分析：（1）利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算并且結(jié)合二倍角公式與兩角和的正弦公式可得：f（x）=2sin(2x+θ+

π

3

)．
（2）由（1）并且結(jié)合題意可得：θ=kπ+

π

6

，k∈Z，再根據(jù)θ的范圍即可得到答案．
（3）由（2）可得：f（x）=2cos2x，再利用余弦函數(shù)的性質(zhì)可得：x=kπ±

π

6

，k∈Z，進(jìn)而結(jié)合x的取值范圍得到答案．

解答：解：（1）由題意可得：
f(x)=

a

•

b

-

3

=2sin(x+

θ

2

)•cos(x+

θ

2

)+

3

[2cos2(x+

θ

2

)-1]
=sin(2x+θ)+

3

cos (2x+θ)
=2sin(2x+θ+

π

3

)，
所以函數(shù)f（x）的解析式為：f(x)=2sin(2x+θ+

π

3

)．
（2）因?yàn)閒（x）為偶函數(shù)，
所以結(jié)合（1）可得：θ=kπ+

π

6

，k∈Z，
又因?yàn)?≤θ≤π，
所以θ=

π

6

．
（3）由（2）可得：f（x）=2cos2x，
∵f（x）=1，
∴由余弦函數(shù)的性質(zhì)可得：x=kπ±

π

6

，k∈Z，
又∵x∈[-π，π]，
∴x=-

5π

6

，-

π

6

，

π

6

，

5π

6

∴x的集合為x∈{-

5π

6

，-

π

6

，

π

6

，

5π

6

}．

點(diǎn)評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握余弦函數(shù)的性質(zhì)，如奇偶性、值域等性質(zhì)，本題考查了兩角和與差的正余弦公式、二倍角公式、向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算等知識點(diǎn)，此題綜合性較強(qiáng)考查的知識點(diǎn)比較基礎(chǔ)，是考試命題的熱點(diǎn)之一，只要在做題時(shí)認(rèn)真仔細(xì)即可得到全分．