【題目】已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1,sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且滿足:
anSn+1﹣an+1Sn+an﹣an+1=λanan+1(λ≠0,n∈N
(1)若a1 , a2 , a3成等比數(shù)列,求實(shí)數(shù)λ的值;
(2)若λ= ,求Sn

【答案】
(1)解:∵a1,a2,a3成等比數(shù)列,可設(shè)公比為q,則a2=q,a3=q2

∵anSn+1﹣an+1Sn+an﹣an+1=λanan+1(λ≠0,n∈N ),

∴當(dāng)n=1時(shí),a1S2﹣a2S1+a1﹣a2=λa1a2,即(1+q)﹣q+1﹣q=λq,化為2﹣q=λq,

當(dāng)n=2時(shí),a2S3﹣a3S2+a2﹣a3=λa2a3,化為:2﹣q=λq2

聯(lián)立解得λ=q=1.

∴λ=1.


(2)解:λ= ,則anSn+1﹣an+1Sn+an﹣an+1= anan+1

∵Sn+1=Sn+an+1,

∴(an﹣an+1)Sn+ +an﹣an+1=0.

化為Sn+ +1=0,

∵a1=1,令n=1,則1+ +1=0,解得a2=

同理可得a3=

猜想

下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明:

①當(dāng)n=1時(shí),a1= =1,成立;

②假設(shè)當(dāng)n≤k(k∈N*)時(shí)成立, ,則Sk= =

∵Sk+ +1=0,

+ +1=0,

解得ak+1=

因此當(dāng)n=k+1時(shí)也成立,

綜上可得:對(duì)于n∈N* 都成立.

由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得:Sn=

可得an+1= ,Sn= = ,Sn+1=

代入anSn+1﹣an+1Sn+an﹣an+1= anan+1,驗(yàn)證成立.

∴Sn=


【解析】(1)由于a1 , a2 , a3成等比數(shù)列,可設(shè)公比為q,則a2=q,a3=q2 . 由anSn+1﹣an+1Sn+an﹣an+1=λanan+1(λ≠0,n∈N ),分別令n=1,2,即可得出.(2)λ= ,則anSn+1﹣an+1Sn+an﹣an+1= anan+1 , 化為Sn+ +1=0,由a1=1,a2= ,a3= .猜想 .再利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可得出.
【考點(diǎn)精析】掌握數(shù)列的前n項(xiàng)和是解答本題的根本,需要知道數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系

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PM2.5
日均濃度

0~35

35~75

75~115

115~150

150~250

>250

空氣質(zhì)量級(jí)別

一級(jí)

二級(jí)

三級(jí)

四級(jí)

五級(jí)

六級(jí)

空氣質(zhì)量類型

優(yōu)

輕度污染

中度污染

重度污染

嚴(yán)重污染

甲、乙兩城市2013年2月份中的15天對(duì)空氣質(zhì)量指數(shù)PM2.5進(jìn)行監(jiān)測(cè),獲得PM2.5日均濃度指數(shù)數(shù)據(jù)如莖葉圖所示:

(1)根據(jù)你所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)估計(jì)甲、乙兩城市15天內(nèi)哪個(gè)城市空氣質(zhì)量總體較好?(注:不需說明理由)
(2)在15天內(nèi)任取1天,估計(jì)甲、乙兩城市空氣質(zhì)量類別均為優(yōu)或良的概率;
(3)在乙城市15個(gè)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中任取2個(gè),設(shè)X為空氣質(zhì)量類別為優(yōu)或良的天數(shù),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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(1)求橢圓E的方程;
(2)點(diǎn)P在橢圓E上,直線CP和DP的斜率都存在且不為0,試問直線CP和DP的斜率之積是否為定值?若是,求此定值;若不是,請(qǐng)說明理由:
(3)平行于CD的直線l交橢圓E于M,N兩點(diǎn),求△CMN面積的最大值,并求此時(shí)直線l的方程.

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(1)求橢圓M的方程;

(2)設(shè)直線l與橢圓M相交于A,B兩點(diǎn),以線段OA,OB為鄰邊作平行四邊形OAPB,其中點(diǎn)P在橢圓M,O為坐標(biāo)原點(diǎn),求點(diǎn)O到直線l的距離的最小值.

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