Question

（文）若函數(shù)f（x）=-x³+3x²+ax+1在（-∞，1]上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．
（理） 設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量

OA

=(1，2，3)，

OB

=(2，1，2)，

OP

=(1，1，2)，點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)

QA

•

QB

取得最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

分析：（文）由函數(shù)f（x）=-x³+3x²+ax+1在（-∞，1]上單調(diào)遞減轉(zhuǎn)化成f′（x）≤0在（-∞，1]上恒成立，利用參數(shù)分離法即可求出a的范圍．
（理）可先設(shè)Q（x，y，z），由點(diǎn)Q在直線OP上可得Q（λ，λ，2λ），則由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得

QA

•

QB

=2（3λ²-8λ+5），根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求，取得最小值時(shí)的λ，進(jìn)而可求Q

解答：（文）解：∵函數(shù)f（x）=-x³+3x²+ax+1在（-∞，1]上單調(diào)遞減，
∴f′（x）=-3x²+6x+a≤0在（-∞，1]上恒成立．
即 a≤3x²-6x在（-∞，1]上恒成立．
∵t=3x²-6x在（-∞，1]上的最小值為-3，
∴a≤-3
∴故答案為：a≤-3．
（理）解：設(shè)Q（x，y，z）
由點(diǎn)Q在直線OP上可得存在實(shí)數(shù)λ使得

OQ

=λ

OP

，則有Q（λ，λ，2λ）

QA

=(1-λ，2-λ，3-2λ)，

QB

=(2-λ，1-λ，2-2λ)
當(dāng)

QA

•

QB

=（1-λ）（2-λ）+（2-λ）（1-λ）+（3-2λ）（2-2λ）=2（3λ²-8λ+5）
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng) λ=

4

3

時(shí)，取得最小值 -

2

3

此時(shí)Q (

4

3

，

4

3

，

8

3

)
故答案為：(

4

3

，

4

3

，

8

3

)

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．本題主要考查了平面向量的共線定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是由點(diǎn)Q在直線OP上可得存在實(shí)數(shù)λ使得

OQ

=λ

OP

，進(jìn)而有Q（λ，λ，2λ），然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于λ的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)知識(shí)求解最值，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想在解題中的應(yīng)用．