Question

如圖，已知邊長都為1正方形ABCD與正方形ABEF，∠DAF=90°，M，N分別是對角線AC和BF上的點，且．
（1）求證：MN∥平面BCE；
（2）求MN的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）過M作MP⊥AB，垂足為P，連接PN，由平行線分線段成比例定理，我們易得到PN∥AF，由面面平行的判定定理可得平面MPN∥平面CBE，再由面面平行的性質(zhì)，即可得到MN∥平面BCE；
（2）由已知中邊長都為1正方形ABCD與正方形ABEF，∠DAF=90°，，根據(jù)勾股定理，我們易得MN²=，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，易得到MN的最小值．
解答：解：（1）證明：過M作MP⊥AB，垂足為P，連接PN．
∵，又
∴[（2分）]
∴PN∥AF
∴平面MPN∥平面CBE[（4分）]
從而MN∥平面BCE[（6分）]
 （2）∠MPN=90°[（8分）]
由勾股定理知：[（10分）]
當(dāng)時，MN的最小值為．[（12分）]
點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，空間中兩點之間的距離運算，其中（1）中，根據(jù)線面平行的判定定理證明有較大的難度，故采用先證面面平行，再由面面平行的性質(zhì)得到線面平行，（2）的關(guān)鍵是將空間兩點間的距離表示成a的函數(shù)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成求函數(shù)最值的問題．