Question

已知拋物線y²=-8x的焦點(diǎn)為F₁，準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為F₂，直線l：x-y+4=0，以F₁、F₂為焦點(diǎn)的橢圓C過直線l上一點(diǎn)．
（1）求長(zhǎng)軸最短時(shí)橢圓C的方程；
（2）在（1）中的橢圓上存在四點(diǎn)M、N、P、Q滿足：

PF2

∥

F2Q

，

MF2

∥

F2N

，

PF2

⊥

F2M

，求四邊形PMQN的面積的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由拋物線y²=-8x，可得焦點(diǎn)F₁（-2，0），準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為F₂（2，0）．設(shè)所求的橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

b2+4

+

y2

b2

=1，聯(lián)立方程化為（2b²+4）x²+8（b²+4）x+（b²+4）（16-b²）=0，令△=0，解出即可．
（2））①當(dāng)PQ與MN中的一個(gè)與x軸垂直時(shí)，把x=2代入橢圓方程解得y．即可得出四邊形PMQN的面積．
②當(dāng)PQ與MN的斜率都存在時(shí)，設(shè)PQ的直線方程為：y=k（x-2），則直線MN的方程為：y=-

1

k

（x-2）．與橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式，利用四邊形PMQN的面積S=

1

2

|PQ||MN|及其基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：（1）由拋物線y²=-8x，可得焦點(diǎn)F₁（-2，0），準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為F₂（2，0）．
設(shè)所求的橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

b2+4

+

y2

b2

=1，
聯(lián)立

x-y+4=0 x2 b2+4 + y2 b2 =1

，化為（2b²+4）x²+8（b²+4）x+（b²+4）（16-b²）=0，
令△=64（b²+4）²-4（2b²+4）（b²+4）（16-b²）=0，
解得b²=6．
∴長(zhǎng)軸最短時(shí)橢圓C的方程為

x2

10

+

y2

6

=1．
（2）①當(dāng)PQ與MN中的一個(gè)與x軸垂直時(shí)，把x=2代入橢圓方程可得

4

10

+

y2

6

=1，解得y=±

3 10

5

．
∴四邊形PMQN的面積=

1

2

×2

10

×

6 10

5

=12．
②當(dāng)PQ與MN的斜率都存在時(shí)，設(shè)PQ的直線方程為：y=k（x-2），則直線MN的方程為：y=-

1

k

（x-2）．
聯(lián)立

y=k(x-2) 3x2+5y2=30

，化為（3+5k²）x²-20k²x+20k²-30=0，
△=400k⁴-4（3+5k²）（20k²-30）＞0．
∴x1+x2=

20k2

3+5k2

，x₁x₂=

20k2-30

3+5k2

．
∴|PQ|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[ 400k2 (3+5k2)2 - 4×(20k2-30) 3+5k2 ]

=

6 10 (1+k2)

3+5k2

．
同理可得|MN|=

6 10 (1+k2)

5+3k2

．
∴四邊形PMQN的面積S=

1

2

|PQ||MN|=

1

2

×

6 10 (1+k2)

3+5k2

×

6 10 (1+k2)

5+3k2

=

180(1+k2)2

(3+5k2)(5+3k2)

=

180

15+ 4 k2+ 1 k2 +2

≥

180

15+ 4 2+2

=

45

4

．當(dāng)且僅當(dāng)k²=1時(shí)取等號(hào)．
綜上①②可得：當(dāng)k=±1時(shí)，四邊形PMQN的面積取得最小值

45

4

；
當(dāng)PQ與MN中的一個(gè)與x軸垂直時(shí)，四邊形PMQN的面積取得最大值12．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、四邊形面積極限公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．