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如圖，已知橢圓的離心率是，分別是橢圓的左、右兩個頂點，點是橢圓的右焦點。點是軸上位于右側的一點，且滿足．

（1）求橢圓的方程以及點的坐標；
（2）過點作軸的垂線，再作直線與橢圓有且僅有一個公共點，直線交直線于點．求證：以線段為直徑的圓恒過定點，并求出定點的坐標．

（1）；（2）定點坐標為，證明見詳解．

解析試題分析：（1）設，然后利用建立關于的方程，然后利用得到的方程，兩方程結合消去可得到的關系，再由條件中的離心率得到的關系，進行通過解方程組可求得的值，進行可求得橢圓的方程，以及點的坐標；（2）設．將直線代入橢圓方程消去的得到的二次方程，利用韋達定理可利用表示點的坐標．又設以線段為直徑的圓上任意一點，然后利用可求得圓的方程，再令，取時滿足上式，故過定點．
試題解析：（1），設，
由有，
又，，
于是，
又，，
又，，橢圓，且．
（2），設，由
，
由于（*），
而由韋達定理：，
，，
設以線段為直徑的圓上任意一點，
由有
，
由對稱性知定點在軸上，令，取時滿足上式，故過定點．
考點：1、橢圓方程及幾何性質；2、直線與橢圓的位置關系；3、圓的方程；4、證明定點問題．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知中心在原點的雙曲線C的一個焦點是F1（一3,0)，一條漸近線的方程是
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若以k（k≠0)為斜率的直線與雙曲線C相交于兩個不同的點M, N,且線段MN的
垂直平分線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為，求k的取值范圍。

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知為橢圓,的左右焦點，是坐標原點，過作垂直于軸的直線交橢圓于，設 .
（1）證明： 成等比數列；
(2)若的坐標為，求橢圓的方程；
（3）在(2)的橢圓中，過的直線與橢圓交于、兩點，若，求直線的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知、分別是橢圓的左、右焦點.
（1）若是第一象限內該橢圓上的一點，，求點的坐標；
（2）設過定點的直線與橢圓交于不同的兩點、，且為銳角（其
中為坐標原點），求直線的斜率的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

在直角坐標系xOy中，中心在原點O，焦點在x軸上的橢圓C上的點(2，1)到兩焦點的距離之和為4.
(1)求橢圓C的方程；
(2)過橢圓C的右焦點F作直線l與橢圓C分別交于A，B兩點，其中點A在x軸下方，且＝3.求過O，A，B三點的圓的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

設,分別是橢圓：的左、右焦點，過作傾斜角為的直線交橢圓于,兩點, 到直線的距離為,連結橢圓的四個頂點得到的菱形面積為.
（1）求橢圓的方程；
（2）過橢圓的左頂點作直線交橢圓于另一點, 若點是線段垂直平分線上的一點,且滿足,求實數的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知中心在坐標原點O的橢圓C經過點A(2,3)，且點F(2,0)為其右焦點．
(1)求橢圓C的方程；
(2)是否存在平行于OA的直線l，使得直線l與橢圓C有公共點，且直線OA與l的距離等于4？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的焦點坐標為F1(－1,0)，F2(1,0)，過F2垂直于長軸的直線交橢圓于P，Q兩點，且|PQ|＝3.
(1)求橢圓的方程；
(2)過F2的直線l與橢圓交于不同的兩點M，N，則△F1MN的內切圓的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及此時的直線方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C：＝1(a＞b＞0)的離心率為，其左、右焦點分別是F1、F2，過點F1的直線l交橢圓C于E、G兩點，且△EGF2的周長為4.
(1)求橢圓C的方程；
(2)若過點M(2,0)的直線與橢圓C相交于兩點A、B，設P為橢圓上一點，且滿足＋＝t (O為坐標原點)，當|－|＜時，求實數t的取值范圍．

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