【題目】已知函數(shù)，曲線在點處的切線方程為.

（1）求函數(shù)的解析式，并證明：.

（2）已知，且函數(shù)與函數(shù)的圖象交于，兩點，且線段的中點為，證明：.

【答案】（1），證明見解析； （2）證明見解析.

【解析】

（1）利用切線方程可求得的解析式，令，利用導數(shù)可求得，從而證得結論；（2）通過分析法可知要證成立只需證；令，即證：；令，利用導數(shù)研究單調性，可知，得到成立；令，利用導數(shù)研究單調性，可知，得到成立，可知需證的不等式成立，則原不等式成立.

（1）由題意得：，即

又，即，則，解得：

則.

令，

令，解得：

則函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增

，則：

（2）要證成立，只需證：

即證，即：

只需證：

設，即證：

要證，只需證：

令，則

在上為增函數(shù)

，即成立；

要證，只需證明：

令，則

在上為減函數(shù) ，即成立

，成立

成立

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，四邊形為正方形，，且，平面.

（1）證明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，已知直線的方程為，曲線是以坐標原點為頂點，直線為準線的拋物線.以坐標原點為極點，軸非負半軸為極軸建立極坐標系.

（1）分別求出直線與曲線的極坐標方程：

（2）點是曲線上位于第一象限內的一個動點，點是直線上位于第二象限內的一個動點，且，請求出的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，已知曲線（為參數(shù)），.以原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.

（I）寫出曲線與圓的極坐標方程；

（II）在極坐標系中，已知射線分別與曲線及圓相交于，當時，求的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某工廠預購軟件服務，有如下兩種方案：

方案一：軟件服務公司每日收取工廠60元，對于提供的軟件服務每次10元；

方案二：軟件服務公司每日收取工廠200元，若每日軟件服務不超過15次，不另外收費，若超過15次，超過部分的軟件服務每次收費標準為20元.

（1）設日收費為元，每天軟件服務的次數(shù)為，試寫出兩種方案中與的函數(shù)關系式；

（2）該工廠對過去100天的軟件服務的次數(shù)進行了統(tǒng)計，得到如圖所示的條形圖，依據(jù)該統(tǒng)計數(shù)據(jù)，把頻率視為概率，從節(jié)約成本的角度考慮，從兩個方案中選擇一個，哪個方案更合適？請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線：的焦點為，直線與軸的交點為，與拋物線的交點為，且．

（1）求拋物線的方程；

（2）過拋物線上一點作兩條互相垂直的弦和，試問直線是否過定點，若是，求出該定點；若不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，圓錐的頂點為A，底面的圓心為O，BC是底面圓的一條直徑，點D，E在底面圓上，已知，.

（1）證明：；

（2）若二面角的大小為，求直線OC與平面ACE所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某超市為了解顧客的購物量及結算時間等信息，安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關數(shù)據(jù)，統(tǒng)計結果如下表所示，已知這100位顧客中一次購物量超過7件的顧客占.

一次購物量

1至3件

4至7件

8至11件

12至15件

16件及以上

顧客數(shù)（人）

27

20

10

結算時間（/人）

0.5

1

1.5

2

2.5

（1）確定，的值，并求顧客一次購物的結算時間的平均值；

（2）從收集的結算時間不超過的顧客中，按分層抽樣的方法抽取5人，再從這5人中隨機抽取2人，求至少有1人的結算時間為的概率.（注：將頻率視為概率）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在多面體中，，四邊形和四邊形是兩個全等的等腰梯形.

（1）求證：四邊形為矩形；

（2）若平面平面，，，，求多面體的體積.

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