Question

如圖，過雙曲線上左支一點(diǎn)A作兩條相互垂直的直線分別過兩焦點(diǎn)，其中一條與雙曲線交于點(diǎn)B，若△ABF₂是等腰三角形，則雙曲線的離心率為（　　）

• A、

  5+2 2

• B、

  5-2 2

• C、

  4+2 2

• D、

  4-2 2

Answer 1

分析：設(shè)AF₂=m，AF₁=x，根據(jù)雙曲線的基本性質(zhì)及△ABF₂是等腰三角形，用m分別表示出x，a，c，進(jìn)而求得離心率

c

a

．

解答：解：設(shè)AF₂=m，AF₁=x
又AB=AF₂，則BF₁=m-x=2a，BF₂=

2

m．
BF₂-BF₁=2a，即

2

m-2a=2a，故a=

2

4

m，
又 m-x=2a，解得 x=

2- 2

2

m，
在△AF₁F₂中，由勾股定理知，2c=

m2+x2

=

10-4 2

2

m
所以雙曲線的離心率e=

c

a

=

10-4 2 4 m

2 4 m

=

5-2 2

故選B．

點(diǎn)評：本題考查了雙曲線的基本性質(zhì)及其靈活運(yùn)用，屬于中檔題型．