Question

等差數列{a_n}是遞增數列，前n項和為S_n，且a₁，a₂，a₅成等比數列，S₅=a₃²
（1）求{a_n}的通項公式．
（2）求證：對于任意的正整數m，l，數列a_m，a_m+l，a_m+2l都不可能為等比數列．
（3）若對于任意給定的正整數m，都存在正整數l，使數列a_m，a_m+l，a_m+kl為等比數列，求正常數k的取值集合．

Answer 1

分析：（1）設{a_n}的公差為d（d＞0），由a₁，a₂，a₅成等比數列，S₅=a₃²，解得

a1=1 d=2

，由此能求出{a_n}的通項公式．
（2）假設存在正整數m，l，使數列a_m，a_m+l，a_m+2l為等比數列，則[2（m+l）-l]²=（2m-1）[2（m+2l）-l]，解得l=0，與l為正整數矛盾，故假設不成立，對于任意的正整數m，l，數列a_m，a_m+l，a_m+2l都不可能為等比數列．
（3）數列a_m，a_m+l，a_m+kl為等比數列的充要條件是（2m+2l-1）²=（2m-1）（2m+2kl-1），即（2m-1）（k-2）=2l，
對于任意給定的正整數m，2m-1為奇數，而2l為偶數，k-2為偶數，由此能求出正整數k的取值集合．

解答：解：（1）由等差數列{a_n}是遞增數列，可設{a_n}的公差為d（d＞0），
∵a₁，a₂，a₅成等比數列，S₅=a₃²，
∴

a22=a1a5 5a3=a32

，
解得

a1=1 d=2

，∴a_n=2n-1．
（2）假設存在正整數m，l，使數列a_m，a_m+l，a_m+2l為等比數列，
則a_m+l²=a_ma_m+2l，而a_n=2n-1，
∴[2（m+l）-l]²=（2m-1）[2（m+2l）-l]，
解得l=0，與l為正整數矛盾，故假設不成立，
對于任意的正整數m，l，數列a_m，a_m+l，a_m+2l都不可能為等比數列．
（3）∵a_m=2m-1，a_m+l=2m+2l-1，a_m+kl=2m+2kl-1，
數列a_m，a_m+l，a_m+kl為等比數列的充要條件是（2m+2l-1）²=（2m-1）（2m+2kl-1），
∴4（2m-1）l+4l²=（2m-1）2kl，
∵l為正整數，∴2（2m-1）+2l=（2m-1）k，
即（2m-1）（k-2）=2l，
對于任意給定的正整數m，2m-1為奇數，而2l為偶數，
∴k-2為偶數，
記k-2=2t（t∈N⁺），
即k=2+2t，t∈N⁺，
此時l=（2m-1）t∈N⁺，
綜上所述，正整數k的取值集合為{k|k=2+2t，t∈N^*}．

點評：本題考查數列通項公式的求法、非等比數列的證明和等比關系的確定，解題時要注意函數思想和反證法的合理運用，合理地進行等價轉化．