Question

(本小題滿(mǎn)分14分)
已知集合是滿(mǎn)足下列性質(zhì)的函數(shù)的全體, 存在非零常數(shù), 對(duì)任意, 有成立.
(1) 函數(shù)是否屬于集合？說(shuō)明理由;
(2) 設(shè), 且, 已知當(dāng)時(shí), , 求當(dāng)時(shí), 的解析式.
（3）若函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

(1). (2)當(dāng)時(shí), .
(3）{k|k= nπ, n∈Z}    

(1)假設(shè)函數(shù)屬于集合, 則存在非零常數(shù), 對(duì)任意, 有成立,即: 成立.在不成立的情況下，易用反例說(shuō)明.因而 令, 則, 與題矛盾. 故.  
(2)解決本題的關(guān)鍵是，根據(jù)1<x+4<2,從而根據(jù)時(shí), 求出f(x)的表達(dá)式.
(3)解本題應(yīng)討論當(dāng)k=0和k≠0兩種情況.
然后解決本題的突破口是對(duì)任意x∈R，有f(x+T)="T" f(x)成立，即sin(kx+kT)=Tsinkx   
因?yàn)閗≠0，且x∈R，所以kx∈R，kx+kT∈R，
于是sinkx∈[－1，1]，sin(kx+kT) ∈[－1，1]， 
故要使sin(kx+kT)=Tsinkx .成立，只有T=，下面再對(duì)T=1和T=-1兩種情況進(jìn)行討論.
解:(1) 假設(shè)函數(shù)屬于集合, 則存在非零常數(shù), 對(duì)任意, 有成立,
即: 成立. 令, 則, 與題矛盾. 故. …………5分
注：只要能判斷即可得1分.
(2) , 且, 則對(duì)任意, 有,
設(shè), 則, …………8分  
當(dāng)時(shí), ,
故當(dāng)時(shí), . …………10分  
3）當(dāng)k=0時(shí)，f(x)=0，顯然f(x)=0∈M.   …………11分  
當(dāng)k≠0時(shí)，因?yàn)?i>f(x)=sinkx∈M，所以存在非零常數(shù)T，對(duì)任意x∈R，有
f(x+T)="T" f(x)成立，即sin(kx+kT)=Tsinkx .     
因?yàn)閗≠0，且x∈R，所以kx∈R，kx+kT∈R，
于是sinkx∈[－1，1]，sin(kx+kT) ∈[－1，1]， 
故要使sin(kx+kT)=Tsinkx .成立，只有T=， …………12分
①當(dāng)T=1時(shí)，sin(kx+k)=sinkx成立，則k=2mπ, m∈Z .
②當(dāng)T=－1時(shí)，sin(kx－k)=－sinkx成立，
即sin(kx－k+π)= sinkx成立，
則－k+π=2mπ, m∈Z ，即k=－(2m－1)π, m∈Z . …………13分     
綜合得，實(shí)數(shù)k的取值范圍是{k|k= nπ, n∈Z}  …………14分