Question

在△ABC中，已知A（1，4），B（4，1），C（0，-4），若P為△ABC所在平面一動(dòng)點(diǎn)，則

PA

•

PB

+

PB

•

PC

+

PC

•

PA

的最小值是（　　）

• A．-

  86

  3

• B．-

  74

  3

• C．-

  62

  3

• D．-

  50

  3

Answer 1

分析：設(shè)P的坐標(biāo)為（x，y），向量

PA

、

PB

、

PC

的坐標(biāo)關(guān)于x、y的坐標(biāo)形式，從而算出

PA

•

PB

、

PB

•

PC

和

PC

•

PA

關(guān)于x、y的表達(dá)式，進(jìn)而得到

PA

•

PB

+

PB

•

PC

+

PC

•

PA

=3x²+3y²-10x-2y-12，再用配方法結(jié)合二次函數(shù)求最值的方法，即可算出所求的最小值．

解答：解：設(shè)P（x，y），可得

PA

=（1-x，4-y），

PB

=（4-x，1-y），

PC

=（-x，-4-y）
∴

PA

•

PB

=（1-x）（4-x）+（4-y）（1-y）=x²+y²-5x-5y+8

PB

•

PC

=（4-x）（-x）+（1-y）（-4-y）=x²+y²-4x+3y-4

PC

•

PA

=（1-x）（-x）+（4-y）（-4-y）=x²+y²-x-16
因此，

PA

•

PB

+

PB

•

PC

+

PC

•

PA

=3x²+3y²-10x-2y-12
∵3x²+3y²-10x-2y-12=3（x-

5

3

）²+3（y-

1

3

）²-

62

3

∴當(dāng)x=

5

3

且y=

1

3

時(shí)，

PA

•

PB

+

PB

•

PC

+

PC

•

PA

的最小值為-

62

3

故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題給出△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，求平面ABC內(nèi)的向量數(shù)量積之和的最小值，著重考查了平面向量數(shù)量積的計(jì)算公式和二次函數(shù)求最值等知識(shí)，屬于中檔題．