Question

復數(shù)z=-|

i

1+ 3 i

|-

3

2

i是一元二次方程ax²+bx+1=0（a、b∈R）的一個根，
（1）求a和b的值；            
（2）若(a+bi)

.

u

+u=z（u∈C），求u．

Answer 1

分析：（1）由題意可得實系數(shù)一元二次方程ax²+bx+1=0的另一個根為

3

2

-

1

2

i，利用根與系數(shù)的關系求出a 和b的值．
（2）由（1）知(1+i)

.

u

+u=-

1

2

-

3

2

i，設 u=x+yi（x，y∈R），則有：(1+i)(x-yi)+(x+yi)=-

1

2

-

3

2

i，結(jié)合復數(shù)相等的條件得出關于x，y的方程組，解之即可得出u值．

解答：解：（1）由題得z=-

1

2

-

3

2

i（2分）   
所以方程另一個根為-

1

2

+

3

2

i（4分）
由韋達定理知：得a=1，b=（16分）
（2）由（1）知(1+i)

.

u

+u=-

1

2

-

3

2

i，設 u=x+yi（x，y∈R）（7分）
則：(1+i)(x-yi)+(x+yi)=-

1

2

-

3

2

i，
得(2x+y)+xi=-

1

2

-

3

2

i（8分）
2x+y=-

1

2

且 x=-

3

2

，所以u=-

3

2

+

2 3 -1

2

i（12分）

點評：本題考查實系數(shù)一元二次方程根與系數(shù)的關系、復數(shù)相等的條件等基本知識，判斷另一個根為

3

2

-

1

2

i，是解題的關鍵．