Question

（2008•湖北模擬）數(shù)列{4an}是一個首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)，S_n是{a_n}的前n項(xiàng)和．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)及S_n
（2）設(shè)點(diǎn)列Qn(

an

n

，

Sn

n2

)，n∈N+試求出一個半徑最小的圓，使點(diǎn)列Q_n中任何一個點(diǎn)都不在該圓外部．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)數(shù)列{4an}是一個首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)，可得

4an

4an-1

=2，從而求出{a_n}是以1為首項(xiàng)，

1

2

為公差的等差數(shù)列，即可求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)及S_n；
（2）設(shè)Q_n（x，y），從而可得Q_n在直線3x-2y-1=0上，橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)隨n的增大而減小，并與(

1

2

，

1

4

)無限接近，故所求圓就是以（1，1）、(

1

2

，

1

4

)為直徑端點(diǎn)的圓．

解答：解：（1）∵4a1=4∴a₁=1

4an

4an-1

=2∴4an-an-1=2
即an-an-1=

1

2

故{a_n}是以1為首項(xiàng)，

1

2

為公差的等差數(shù)列 （3分）
∴an=

n

2

+

1

2

，Sn=

1

4

n2+

3

4

n（5分）
（2）設(shè)Q_n（x，y）∴

x= 1 2 + 1 2n y= 1 4 + 3 4n

由此可得Q_n在直線3x-2y-1=0上                       （8分）
橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)隨n的增大而減小，并與(

1

2

，

1

4

)無限接近，
故所求圓就是以（1，1）、(

1

2

，

1

4

)為直徑端點(diǎn)的圓即(x-

3

4

)2+(y-

5

8

)2=(

13

8

)2=

13

64

（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列的求和，以及極限的思想，屬于中檔題．