求證：以過拋物線焦點的弦為直徑的圓必與相切（用分析法證）

 

【答案】

見解析。

【解析】

試題分析：

證明：（如圖）過焦點，作垂直準線，取的中點，作垂直準線．

要證明以為直徑的圓與準線相切，

只需證，

由拋物線的定義：，，

所以，

因此只需證．

根據(jù)梯形的中位線定理可知上式是成立的．

所以，以過焦點的弦為直徑的圓必與相切．

考點：本題主要考查分析法的定義和方法、拋物線定義。

點評：數(shù)形結(jié)合，綜合應用解析幾何知識。

 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知圓O：x2+y2=4，A（-1，0），B（1，0），直線l與圓O切于點S（l不垂直于x軸），拋物線過A、B兩點且以l為準線，以F為焦點．
（1）當點S在圓周上運動時，求證：|FA|+|FB|為定值，并求出點F的軌跡C方程；
（2）曲線C上有兩個動點M，N，中點D在直線y=l上，若直線l′經(jīng)過點D，且在l′上任取一點P（不同于D點），都存在實數(shù)λ，使得
DP
=λ(
MP
|
MP
|
+
NP
|
NP
|
)，證明：直線l′必過定點，并求出該定點的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線y2=2px（p＞0）的焦點為F，過F的直線交y軸正半軸于點P，交拋物線于A，B兩點，其中點A在第一象限．
（Ⅰ）求證：以線段FA為直徑的圓與y軸相切；
（Ⅱ）若
FA
=λ1
AP
，
BF
=λ2
FA
，
λ1
λ2
∈[
1
4
，
1
2
]，求λ2的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知F1、F2分別是橢圓
x2
4
+
y2
3
=1的左、右焦點，曲線C是坐標原點為頂點，以F2為焦點的拋物線，過點F1的直線l交曲線C于x軸上方兩個不同點P、Q，點P關(guān)于x軸的對稱點為M，設
F1P
=λ
F1Q

（I）若λ∈[2，4]，求直線L的斜率k的取值范圍；
（II）求證：直線MQ過定點．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年廣東省六校高三5月高考模擬考試理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

如圖所示：已知過拋物線的焦點F的直線與拋物線相交于A，B兩點。

（1）求證：以AF為直徑的圓與x軸相切；

（2）設拋物線在A，B兩點處的切線的交點為M，若點M的橫坐標為2，求△ABM的外接圓方程；

（3）設過拋物線焦點F的直線與橢圓的交點為C、D，是否存在直線使得，若存在，求出直線的方程，若不存在，請說明理由。

 

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