Question

【題目】在極坐標(biāo)系中，曲線C1的極坐標(biāo)方程是，在以極點(diǎn)為原點(diǎn)O，極軸為x軸正半軸（兩坐標(biāo)系取相同的單位長(zhǎng)度）的直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C2的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)）.

（1）求曲線C1的直角坐標(biāo)方程與曲線C2的普通方程；

（2）將曲線C2經(jīng)過伸縮變換后得到曲線C3，若M，N分別是曲線C1和曲線C3上的動(dòng)點(diǎn)，求|MN|的最小值.

Answer 1

【答案】（1）C1的直角坐標(biāo)方程為4x＋3y－24＝0，C2的普通方程為x2＋y2＝1；

（2）.

【解析】

（1）由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，化簡(jiǎn)即可求得C1的直角坐標(biāo)方程，結(jié)合三角函數(shù)的基本關(guān)系式，消去參數(shù)，即可求得C2的普通方程；

（2）將曲線C2經(jīng)過伸縮變換得到曲線C3C3的參數(shù)方程為為參數(shù)），設(shè)N（2cosα，2sinα），利用點(diǎn)到直線的距離公式，求得d有最小值，即可求解.

（1）由題意，曲線C1的極坐標(biāo)方程是，

即4ρcosθ＋3ρsinθ＝24，又由，

所以4x＋3y－24＝0，故C1的直角坐標(biāo)方程為4x＋3y－24＝0.

因?yàn)榍�線C2的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），所以x2＋y2＝1，

故C2的普通方程為x2＋y2＝1.

（2）將曲線C2經(jīng)過伸縮變換后得到曲線C3，

則曲線C3的參數(shù)方程為為參數(shù)）.

設(shè)N（2cosα，2sinα），則點(diǎn)N到曲線C1的距離

（其中滿足）

當(dāng)sin（α＋φ）＝1時(shí)，d有最小值，

所以|MN|的最小值為.