Question

（本小題滿(mǎn)分14分）已知橢圓，它的離心率為，直線(xiàn)與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切.⑴求橢圓的方程；⑵設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，左準(zhǔn)線(xiàn)為，動(dòng)直線(xiàn)垂直于直線(xiàn)，垂足為點(diǎn)，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn)，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；⑶將曲線(xiàn)向右平移2個(gè)單位得到曲線(xiàn),設(shè)曲線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)為，焦點(diǎn)為，過(guò)作直線(xiàn)交曲線(xiàn)于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作平行于曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸的直線(xiàn)，若，試證明三點(diǎn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)）在同一條直線(xiàn)上．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）三點(diǎn)共線(xiàn)

（Ⅰ）由題意可得 ，  （2分）
由，得，∴, （4分）
∴橢圓的方程為. （4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得橢圓的左焦點(diǎn)為，左準(zhǔn)線(xiàn)為,      
連結(jié)，則，設(shè)，則,
∴，（6分）化簡(jiǎn)得的方程為.（8分）
（Ⅲ）將曲線(xiàn)向右平移2個(gè)單位,得曲線(xiàn)的方程為: ,其焦點(diǎn)為，
準(zhǔn)線(xiàn)為，對(duì)稱(chēng)軸為軸．（10分）
設(shè)直線(xiàn)的方程為，代入y²=4x，得y²－4ty－4=0．
由題意，可設(shè)()，()，則y₁y₂=－4，
且有 （12分）∴，，
得．∴三點(diǎn)共線(xiàn)．�。�14分）
評(píng)析：證明三點(diǎn)共線(xiàn)的方法很多,這里運(yùn)用向量共線(xiàn)定理來(lái)證，體現(xiàn)了平面向量與解析幾何知識(shí)的交匯和平面向量知識(shí)在解析幾何中的應(yīng)用．近幾年的高考突出了在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)處設(shè)計(jì)命題的要求，平面向量與解析幾何知識(shí)的綜合考查成為一個(gè)不衰的熱點(diǎn)，復(fù)習(xí)中要引起重視．