【題目】已知線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是,端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng).

求線段的中點(diǎn)的軌跡的方程;

設(shè)圓與曲線的兩交點(diǎn)為,求線段的長;

)若點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)軸上運(yùn)動(dòng)的最小值.

【答案】;;.

【解析】試題分析:(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo),和點(diǎn)是線段的中點(diǎn), ,再由點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)求得點(diǎn)的軌跡方程,進(jìn)而可求得點(diǎn)點(diǎn)的軌跡的方程;

由兩圓的方程,相減得到直線的方程,根據(jù)圓的弦長公式,即可求解的長;

根據(jù)圓的性質(zhì)得 ,由關(guān)于軸的對稱點(diǎn),進(jìn)而可求得的最小值,即可得到的最小值

試題解析:

(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為由于點(diǎn)的坐標(biāo)為

且點(diǎn)是線段的中點(diǎn)所以,

于是有,

因?yàn)辄c(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng),

所以點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程

把①代入②,得

整理

所以點(diǎn)的軌跡的方程為.

(Ⅱ)圓與圓的方程

相減得

由圓的圓心為半徑為1,且到直線

的距離

則公共弦長

是以為圓心,半徑的圓

是以為圓心,半徑的圓

所以

當(dāng)且僅當(dāng)在線段在線段上時(shí)取等號.

設(shè)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)

代入①式得:

當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)取等號.

所以的最小值為.

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