Question

曲線C上任一點到點F₁（-4，0），F₂（4，0）的距離之和為12．曲線C的左頂點為A，點P在曲線C上，且PA⊥PF₂．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）求點P的坐標；
（Ⅲ）在y軸上求一點M，使M到曲線C上點的距離最大值為．

Answer 1

解：（1）設G是曲線C上任意一點，依題意，|GE|+|GF|=12．
所以曲線C是以E、F為焦點的橢圓，且橢圓的長半袖a=6，半焦距c=4，
所以短半軸 ，
所以所求的橢圓方程為 ；
（2）由已知A（-6，0），F₂（4，0），設點P的坐標為（x，y）
則
由已知得
則 2x²+9x-18=0，解之得，
由于A，P兩點不重合，所以只能取 ，于是，
所以點P的坐標為 ；
（3）設圓M的圓心為（0，n），半徑為，其方程為x²+（y-n）²=63，當此圓與橢圓相切時，使M到曲線C上點的距離最大值為．
由消去x得：
則56y²+40ny+20n²-93=0．
△=0?n=6或8．
所求的M的坐標為（0，6）或（0，8）．
分析：（1）設G是曲線C上任意一點，依題意，|GE|+|GF|=12．a=6，c=4，，由此可知所求的橢圓方程．
（2）由已知A（-6，0），F₂（4，0），設點P的坐標為（x，y），則 由已知得 則 ，由此可推導出點P的坐標為 ；
（3）設圓M的圓心為（0，n），半徑為，其方程為x²+（y-n）²=63，當此圓與橢圓相切時，使M到曲線C上點的距離最大值為．由此可推導出所求的M的坐標．
點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答．解答的關鍵是利用方程思想設而不求進行解決直線和圓錐曲線的位置關系問題．