Question

16．雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的離心率為2，右焦點(diǎn)F到它的一條漸近線的距離為$\sqrt{3}$．
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）是否存在過(guò)點(diǎn)F且與雙曲線的右支交于不同的P、Q兩點(diǎn)的直線l，當(dāng)點(diǎn)M滿足$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}）$時(shí)，使得點(diǎn)M在直線x=-2上的射影點(diǎn)N滿足$\overrightarrow{PN}•\overrightarrow{QN}=0$？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)到直線的距離公式可知：$\frac{丨bc丨}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\sqrt{3}$，即可求得b=$\sqrt{3}$，離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{3}{{a}^{2}}}$=2，即可求得a的值，求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）假設(shè)存在滿足條件的直線l，直線l的斜率不存在時(shí)，求得N，P，Q坐標(biāo)，由$\overrightarrow{PN}•\overrightarrow{QN}=7≠0$，即此時(shí)l不滿足條件；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為y=k（x-2），代入雙曲線方程，由韋達(dá)定理及向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，$（-2-{x_1}）（-2-{x_2}）+\frac{{{y_2}-{y_1}}}{2}•\frac{{{y_1}-{y_2}}}{2}=0$即$4{x_1}{x_2}+8（{x_1}+{x_2}）+16-[{（{y_1}+{y_2}）^2}-4{y_1}{y_2}]=0$，代入即可求得k的值，求得直線方程．

解答 解：（1）雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)右焦點(diǎn)為（ c，0 ），一條漸近線為bx-ay=0，
由點(diǎn)到直線的距離公式可知：$\frac{丨bc丨}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\sqrt{3}$，由c²=a²+b²，解得：b=$\sqrt{3}$，
由雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{3}{{a}^{2}}}$=2，解得：a=1，
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$；
（2）∵$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}）$，
∴M是PQ的中點(diǎn)，假設(shè)存在滿足條件的直線l，
若直線l的斜率不存在時(shí)，此時(shí)M點(diǎn)即為F（2，0），可解得：N（-2，0），P（2，3），Q（2，-3），
∴$\overrightarrow{PN}=（-4，-3），\overrightarrow{QN}=（-4，3）$，
∴$\overrightarrow{PN}•\overrightarrow{QN}=7≠0$，即此時(shí)l不滿足條件；
若直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，則l的方程為y=k（x-2）．
∴$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-2）\\ 3{x^2}-{y^2}=3\end{array}\right.$，整理得（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0，
∵要使l與雙曲線交于右支不同的P、Q兩點(diǎn)，須要3-k²≠0，x₁+x₂＞0，x₁x₂＞0，即$\frac{{4{k^2}}}{{{k^2}-3}}＞0$，$\frac{{4{k^2}+3}}{{{k^2}-3}}＞0$，可得k²＞3
由韋達(dá)定理可知：${x_1}+{x_2}=\frac{{4{k^2}}}{{{k^2}-3}}，{x_1}{x_2}=\frac{{4{k^2}+3}}{{{k^2}-3}}，{y_1}+{y_2}=k（{x_1}+{x_2}）-4k=\frac{12k}{{{k^2}-3}}$，${y_1}{y_2}={k^2}[{x_1}{x_2}-2（{x_1}+{x_2}）+4]=\frac{{-9{k^2}}}{{{k^2}-3}}$，
∵M(jìn)在直線x=-2上的射影點(diǎn)N滿足$\overrightarrow{PN}•\overrightarrow{QN}=0$，
∴$\overrightarrow{PN}=（-2-{x_1}，\frac{{{y_2}-{y_1}}}{2}），\overrightarrow{QN}=（-2-{x_2}，\frac{{{y_1}-{y_2}}}{2}）$，
∵$\overrightarrow{PN}•\overrightarrow{QN}=0$，
∴$（-2-{x_1}）（-2-{x_2}）+\frac{{{y_2}-{y_1}}}{2}•\frac{{{y_1}-{y_2}}}{2}=0$即$4{x_1}{x_2}+8（{x_1}+{x_2}）+16-[{（{y_1}+{y_2}）^2}-4{y_1}{y_2}]=0$，
整理得：7k⁴-66k²+27=0，解得：k²=9或${k^2}=\frac{3}{7}$，
∵k²＞3，k²=9，即k=±3，
∴存在這樣的直線l滿足條件，l的方程為3x-y-6=0或3x+y-6=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．