Question

如圖，已知棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，且AA₁⊥面ABCD，∠DAB=60°，AD=AA₁=1，F(xiàn)為棱AA₁的中點，M為線段BD₁的中點．
（Ⅰ）求證：MF∥面ABCD；
（Ⅱ）判斷直線MF與平面BDD₁B₁的位置關系，并證明你的結論；
（Ⅲ）求三棱錐D₁-BDF的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）連接AC、BD交于點O，再連接OM，利用三角形中位線定理結合平行四邊形的性質，得四邊形MOAF是平行四邊形，從而MF∥OA，所以MF∥平面ABCD；
（II）菱形的對角線互相垂直，得AC⊥BD，由BB₁⊥平面ABCD，得AC⊥BB₁，所以AC⊥平面BDD₁B₁，再結合AC∥MF，得AC⊥平面BDD₁B₁；
（III）過點B作BH⊥AD于H，可證出BH⊥平面BDD₁B₁，從而BH是三棱錐B-DD₁F的高，算出△DD₁F的面積并結合錐體體積公式，可得三棱錐D₁-BDF的體積．

解答：解：（Ⅰ）連接AC、BD交于點O，再連接OM，
∵△BD₁D中，OM是中位線，∴OM∥D₁D且OM=

1

2

D₁D，
∵矩形AA₁D₁D中，AF∥D₁D且AF=

1

2

D₁D，
∴AF∥OM且AF=OM，可得四邊形MOAF是平行四邊形，
∴MF∥OA，
∵MF?平面ABCD，OA⊆平面ABCD，
∴MF∥平面ABCD；------（4分）
（Ⅱ）AC⊥平面BDD₁B₁，證明如下
在底面菱形ABCD中，AC⊥BD，
又∵BB₁⊥平面ABCD，AC⊆平面ABCD
∴AC⊥BB₁，
∵BB₁、BD是平面BDD₁B₁內的相交直線
∴AC⊥平面BDD₁B₁，
∵AC∥MF，∴AC⊥平面BDD₁B₁，------------（8分）
（Ⅲ）過點B作BH⊥AD，垂足為H，
∵AA₁⊥平面ABCD，BH⊆平面ABCD
∴BH⊥AA₁，
∵AD、AA₁是平面BDD₁B₁內的相交直線
∴BH⊥平面BDD₁B₁，
在Rt△ABH中，∠DAB=60°，AB=1，
∴BH=ABsin60°=

3

2

，
因此，三棱錐D₁-BDF的體積V=V_B-D1DF=

1

3

S_△DD1F•BH=

1

3

×

1

2

×1×1×

3

2

=

3

12

--------（12分）

點評：本題在特殊四棱柱中，證明線面平行、線面垂直，并求三棱錐的體積，著重考查了空間線面平行、線面垂直的判定與性質和錐體體積公式等知識，屬于中檔題．