【題目】如圖,在正方體, 分別是棱的中點(diǎn) 為棱上一點(diǎn),且異面直線所成角的余弦值為.

1)證明: 的中點(diǎn)

2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

【答案】1見解析2

【解析】試題分析:1為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,不妨令正方體的棱長為2設(shè),利用,解得,即可證得;

2)分別求得平面與平面的法向量,利用求解即可.

試題解析:

1)證明:以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

不妨令正方體的棱長為2,

, , , , ,

設(shè),, ,

所以 ,

所以,解得舍去),即的中點(diǎn).

2)解:由(1)可得,

設(shè)是平面的法向量,

..

易得平面的一個(gè)法向量為,

所以.

所以所求銳二面角的余弦值為.

點(diǎn)睛:空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是:(1)觀察圖形,建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;(2)寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),求出相應(yīng)直線的方向向量;(3)設(shè)出相應(yīng)平面的法向量,利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量;(4)將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系;(5)根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.

型】解答
結(jié)束】
22

【題目】已知橢圓的短軸長為2,且橢圓過點(diǎn).

1)求橢圓的方程;

2)設(shè)直線過定點(diǎn),且斜率為,若橢圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱, 為坐標(biāo)原點(diǎn),的取值范圍及面積的最大值.

【答案】12

【解析】試題分析:1橢圓的短軸長為,得,再由橢圓上一點(diǎn)列方程求解即可;

(2)設(shè)直線的方程為,與橢圓聯(lián)立得,利用韋達(dá)定理求得線段的中點(diǎn)為,代入直線可得, 結(jié)合即可求得的取值范圍,再求和原點(diǎn)到直線的距離,通過,利用韋達(dá)定理代入求最值即可.

試題解析:

1)∵橢圓的短軸長為2,.

又點(diǎn),,.

∴橢圓的方程為.

2)由題意設(shè)直線的方程為,

,消去, ,

,

,

∴線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo),縱坐標(biāo)

即線段的中點(diǎn)為.

代入直線可得,

由①,②可得, .

,

且原點(diǎn)到直線的距離,

,

,,∴當(dāng)時(shí), 取得最大值.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知,函數(shù)

(1)討論的單調(diào)區(qū)間和極值;

(2)將函數(shù)的圖象向下平移1個(gè)單位后得到的圖象,且為自然對數(shù)的底數(shù))和是函數(shù)的兩個(gè)不同的零點(diǎn),求的值并證明: 。

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(I) 求a+b的值;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)g(x)=﹣x2﹣ax﹣b,若對于x≥a均有g(shù)(x)<f(x),求a的取值范圍.

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【題目】已知定義在[﹣ ]的函數(shù)f(x)=sinx(cosx+1)﹣ax,若y=f(x)僅有一個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(
A.( ,2]
B.(﹣∞, )∪[2,+∞)
C.[﹣ ,
D.(﹣∞,﹣ ]∪( ,+∞)

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【題目】對某校高一年級學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),隨機(jī)抽取名學(xué)生作為樣本得到這名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù).根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖如下

1)求出表中及圖中的值;

2)若該校高一學(xué)生有800人,試估計(jì)該校高一學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù).

【答案】1, ;2人.

【解析】試題分析:(1)由題意, 內(nèi)的頻數(shù)是10,頻率是0.25知, ,所以,則 .(2)高一學(xué)生有800人,分組內(nèi)的頻率是,人數(shù)為人.

試題解析:

1)由內(nèi)的頻數(shù)是10,頻率是0.25知, ,所以.

因?yàn)轭l數(shù)之和為40,所以, .

.

因?yàn)?/span>是對應(yīng)分組的頻率與組距的商所以.

2)因?yàn)樵撔8咭粚W(xué)生有800人,分組內(nèi)的頻率是,

所以估計(jì)該校高一學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在此區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為人.

型】解答
結(jié)束】
18

【題目】已知直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn),且與交于兩點(diǎn).

1)設(shè)上一動(dòng)點(diǎn), 到直線的距離為,點(diǎn),的最小值

2.

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【題目】已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn>1,且6Sn=(an+1)(an+2),n∈N*
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