Question

【題目】【2015高考湖北】如圖，圓C與x軸相切于點T(1，0)，與y軸正半軸交于兩點A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.

(1)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．

(2)過點A任作一條直線與圓O：x2＋y2＝1相交于M，N兩點，下列三個結(jié)論：

①＝；②－＝2；

③＋＝2.

其中正確結(jié)論的序號是________(寫出所有正確結(jié)論的序號)．

Answer 1

【答案】(1)(x－1)2＋(y－)2＝2 (2)①②③

【解析】(1)取AB的中點D，連接CD，則CD⊥AB.

由題意|AD|＝|CD|＝1，

故|AC|＝＝，即圓C的半徑為.

又因為圓C與x軸相切于點T(1,0)，所以圓心C的坐標(biāo)為(1，)，故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－)2＝2.

(2)在(x－1)2＋(y－)2＝2中，令x＝0，得y＝±1，

故A(0，－1)，B(0，＋1)．設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，

當(dāng)直線MN斜率不存在時，令M(0，－1)，N(0,1)，

則＝＝－1，＝＝－1.

∴＝.

當(dāng)直線MN斜率存在時，設(shè)直線MN的方程為y＝kx＋－1，由

得(1＋k2)x2＋2(－1)kx＋2(1－)＝0，

則x1＋x2＝，x1x2＝，

kBM＋kNB＝＋

＝＋

＝＋＝－＋2k

＝－＋2k＝0，

所以kBM＝－kNB，所以∠MBA＝∠NBA，BA是∠MBN的平分線．

由內(nèi)角平分線定理得＝，即＝.

故＝恒成立．

當(dāng)k＝0時，可求得＝－1，

故＝－1為定值．

所以－＝－(－1)＝2，

＋＝＋－1＝2.

故①②③都正確．