精英家教網(wǎng)如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直,AA1=AB=AC=1,且AB⊥AC,M是CC1的中點,N是BC的中點,點P在直線A1B1上,且滿足
A1P
A1B1

(1)證明:PN⊥AM;
(2)當(dāng)λ取何值時,直線PN與平面ABC所成的角θ最大?并求該角最大值的正切值.
分析:(1)以AB,AC,AA1分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,分別求出
PN
AM
的坐標(biāo),要證PN⊥AM,只需求證它們的數(shù)量積為零即可;
(2)過P作PE⊥AB于E,連接EN,則∠PNE為直線PN與平面ABC所成的角θ,求出此角的正切值,然后研究其最大值即可求出λ的值.
解答:解:(1)以AB,AC,AA1分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz
則(λ,0,1),N(
1
2
,
1
2
,0),M(0,1,
1
2

從而
PN
=(
1
2
1
2
,-1),
AM
=(0,1,
1
2

PN
AM
=(
1
2
-λ)×0+
1
2
×1
-1×
1
2
=0
所以PN⊥AM(6分)

(2)過P作PE⊥AB于E,連接EN,則PE⊥面ABC,
則∠PNE為所求角θ,
所以tanθ=
PE
EN
=
1
EN
,因為當(dāng)E在AB中點時,ENmin=
1
2
.(tanθ)max=2
此時,λ=
1
2
.(12分)
點評:本題主要考查了直線與平面所成的角,以及直線與平面垂直的性質(zhì),考查空間想象能力,屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AC=BC=2,AA1=4,AB=2
2
,M,N分別是棱CC1,AB中點.
(Ⅰ)求證:CN⊥平面ABB1A1
(Ⅱ)求證:CN∥平面AMB1;
(Ⅲ)求三棱錐B1-AMN的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,M,N分別是CC1,BC的中點,點P在直線A1B1上,且
A1P
A1B1
;
(Ⅰ)證明:無論λ取何值,總有AM⊥PN;
(Ⅱ)當(dāng)λ取何值時,直線PN與平面ABC所成的角θ最大?并求該角取最大值時的正切值;
(Ⅲ)是否存在點P,使得平面PMN與平面ABC所成的二面角為30°,若存在,試確定點P的位置,若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長均為2,且A1A⊥底面ABC,D為AB的中點,G為△ABC1的重心,則|
CG
|的值為(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AB=BC,∠ABC=90°,D為AC中點.
(1)求證:BD⊥AC1;
(2)若AB=
2
,AA1=2
3
,求AC1與平面ABC所成的角.

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