定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足:當(dāng)x>0時(shí),f(x)=2010x+log2010x,則方程f(x)=0的實(shí)根的個(gè)數(shù)為
3
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分析:根據(jù)f(x)是R上的奇函數(shù),則f(0)=0,當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)f1(x)=2010x,f2(x)=-log2010x的圖象有一個(gè)交點(diǎn),方程f(x)=0有唯一實(shí)數(shù)根,由奇函數(shù)的性質(zhì)知,當(dāng)x<0時(shí),
也有唯一一個(gè)根使得f(x)=0,從而得到結(jié)論.
解答:解:當(dāng)x>0時(shí),令f(x)=0得,即2010x=-log2010x,
在同一坐標(biāo)系下分別畫出函數(shù)f1(x)=2010x,f2(x)=-log2010x的圖象,
如右圖,可知兩個(gè)圖象只有一個(gè)交點(diǎn),即方程f(x)=0只有一個(gè)實(shí)根,
∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù),
∴當(dāng)x<0時(shí),方程f(x)=0也有一個(gè)實(shí)根,
又∵f(0)=0,
∴方程f(x)=0的實(shí)根的個(gè)數(shù)為3.
故答案為 3.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查函數(shù)的奇偶性,函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.
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1
2
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x3+x2    x≥0
 
x3-x2     x<0
x3+x2    x≥0
 
x3-x2     x<0

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