Question

(本題滿分12分)

已知直線l：mx–2y+2m=0(mR)和橢圓C：(a>b>0), 橢圓C的離心率為，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)形成四邊形的面積為2.

（I）求橢圓C的方程；

（II）設(shè)直線l經(jīng)過的定點(diǎn)為Q，過點(diǎn)Q作斜率為k的直線l^/與橢圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

(Ⅲ)設(shè)直線l與y軸的交點(diǎn)為P，M為橢圓C上的動點(diǎn)，線段PM長度的最大值為f(m)，求f(m)的表達(dá)式.

Answer 1

(本題滿分12分)

（I）由離心率，得

又因?yàn)?sub>，所以，

即橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為.                          4分

（II）由l：mx–2y+2m=0經(jīng)過定點(diǎn)Q(–2, 0),  則直線l^/：y=k(x+2)， 

  由   有．

    所以，  可化為

    解得．                                  8分

(Ⅲ) 由l：mx–2y+2m=0，設(shè)x=0, 則y=m, 所以P(0, m).

設(shè)M(x, y)滿足,

則|PM|² =x² +(y –m)² =2–2y² +(y – m )² = –y² –2my +m²+2

      = –(y +m)² +2m² +2， 因?yàn)?–1y1,  所以

 當(dāng)|m|>1時(shí)，|MP|的最大值f(m)=1+|m|；

 當(dāng)|m|1時(shí)，|MP|的最大值f(m)=；

所以f(m)=.                         12分