【題目】如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1．

（1）求證：AB1⊥平面A1BC1；

（2）若D在B1C1上，滿足B1D＝2DC1，求AD與平面A1BC1所成的角的正弦值．

【答案】（1）見解析； （2）.

【解析】

（1）先證明AB1⊥A1B，AB1⊥A1C1，進(jìn)而得證結(jié)論；

（2）以A1B1，A1C1，A1A為x，y，z軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系，求解平面A1BC1的法向量為,利用線面角的向量公式，即得解.

（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，

根據(jù)已知條件易得AB1⊥A1B，

由A1C1⊥面ABB1A1，得AB1⊥A1C1，

A1B∩A1C1＝A1，

故AB1⊥平面A1BC1；

（2）以A1B1，A1C1，A1A為x，y，z軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)AB＝a，則A（0，0，a），B（a，0，a），，

所以，

設(shè)平面A1BC1的法向量為

，令

則，

可計算得到

所以AD與平面A1BC1所成的角的正弦值為．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知點、點及拋物線.

（1）若直線過點及拋物線上一點，當(dāng)最大時求直線的方程；

（2）軸上是否存在點，使得過點的任一條直線與拋物線交于點，且點到直線的距離相等？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

(3)在(2)的條件下(提示：可以用第(2)問的結(jié)論)，任意的，證明：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2：ρ2﹣4ρcosθ+3＝0．

（1）求曲線C1的一般方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程；

（2）若點P在曲線C1上，點Q曲線C2上，求|PQ|的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2020年2月1日0:00時，英國順利“脫歐”.在此之前，英國“脫歐”這件國際大事被社會各界廣泛關(guān)注，英國大選之后，曾預(yù)計將會在2020年1月31日完成“脫歐”，但是因為之前“脫歐”一直被延時，所以很多人認(rèn)為并不能如期完成，某媒體隨機在人群中抽取了100人做調(diào)查，其中40歲以上的55人中有10人認(rèn)為不能完成，40歲以下的人中認(rèn)為能完成的占.

（1）完成列聯(lián)表，并回答能否有90%的把握認(rèn)為“預(yù)測國際大事的準(zhǔn)確率與年齡有關(guān)”?

能完成

不能完成

合計

40歲以上

40歲以下

合計

（2）從上述100人中，采用按年齡分層抽樣的方法，抽取20人，從這20人中再選取40歲以下的2人做深度調(diào)査，則2人中恰有1人認(rèn)為英國能夠完成“脫歐”的概率為多少?

附表:

0.150

0.100

0.050

0.025

0.010

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

參考公式為:

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】“共享單車”的出現(xiàn)，為我們提供了一種新型的交通方式。某機構(gòu)為了調(diào)查人們對此種交通方式的滿意度，從交通擁堵不嚴(yán)重的A城市和交通擁堵嚴(yán)重的B城市分別隨機調(diào)查了20個用戶，得到了一個用戶滿意度評分的樣本，并繪制出莖葉圖如圖：

（1）根據(jù)莖葉圖，比較兩城市滿意度評分的平均值的大小及方差的大�。ú灰笥嬎愠鼍唧w值，給出結(jié)論即可）；

（2）若得分不低于80分，則認(rèn)為該用戶對此種交通方式“認(rèn)可”，否則認(rèn)為該用戶對此種交通方式“不認(rèn)可”，請根據(jù)此樣本完成此2×2列聯(lián)表，并據(jù)此樣本分析是否有95%的把握認(rèn)為城市擁堵與認(rèn)可共享單車有關(guān)；

A

B

合計

認(rèn)可

不認(rèn)可

合計

（3）在A，B城市對此種交通方式“認(rèn)可”的用戶中按照分層抽樣的方法抽取6人，若在此6人中推薦2人參加“單車維護(hù)”志愿活動，求A城市中至少有1人的概率。

參考數(shù)據(jù)如下：（下面臨界值表供參考）

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

（參考公式，其中）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，扇形AOB是一個觀光區(qū)的平面示意圖，其中圓心角∠AOB為，半徑OA為1 km.為了便于游客觀光休閑，擬在觀光區(qū)內(nèi)鋪設(shè)一條從入口A到出口B的觀光道路，道路由弧AC、線段CD及線段DB組成，其中D在線段OB上，且CD∥AO.設(shè)∠AOC＝θ.

(1)用θ表示CD的長度，并寫出θ的取值范圍；

(2)當(dāng)θ為何值時，觀光道路最長？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】隨著醫(yī)院對看病掛號的改革，網(wǎng)上預(yù)約成為了當(dāng)前最熱門的就診方式，這解決了看病期間病人插隊以及醫(yī)生先治療熟悉病人等諸多問題；某醫(yī)院研究人員對其所在地區(qū)年齡在10~60歲間的位市民對網(wǎng)上預(yù)約掛號的了解情況作出調(diào)查，并將被調(diào)查的人員的年齡情況繪制成頻率分布直方圖，如下所示.

（1）若被調(diào)查的人員年齡在20~30歲間的市民有300人，求被調(diào)查人員的年齡在40歲以上（含40歲）的市民人數(shù)；

（2）若按分層抽樣的方法從年齡在以及內(nèi)的市民中隨機抽取10人，再從這10人中隨機抽取3人進(jìn)行調(diào)研，記隨機抽取的3人中，年齡在內(nèi)的人數(shù)為，求的分布列以及數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】天文學(xué)中為了衡量星星的明暗程度，古希臘天文學(xué)家喜帕恰斯(，又名依巴谷)在公元前二世紀(jì)首先提出了星等這個概念.星等的數(shù)值越小，星星就越亮；星等的數(shù)值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度計在天體光度測量中的應(yīng)用，英國天文學(xué)家普森()又提出了衡量天體明暗程度的亮度的概念.天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足.其中星等為的星的亮度為.已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四” 的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的倍，則與最接近的是(當(dāng)較小時， )

A.1.24B.1.25C.1.26D.1.27

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