Question

【題目】已知函數y=f（x）是定義域為R的偶函數，當x≥0時，f（x）= ，若關于x的方程[f（x）]2+af（x）﹣a﹣1=0（a∈R）有且只有7個不同實數根，則a的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：由題意，f（x）在（﹣∞，﹣2]和[0，2）上是減函數，在（﹣2，0]和[2，+∞）上是增函數；
∴x=0時，函數取極大值1，x=±2時，取極小值 ，且|x|≥16時，f（x）≥1，則f（x）的圖象如下所示：

由[f（x）]2+af（x）﹣a﹣1=0得[f（x）﹣1][f（x）+a+1]=0；
∴f（x）=1或﹣a﹣1；
∵關于x的方程[f（x）]2+af（x）﹣a﹣1=0有7個不同實數根；
∴ ；
∴ ；
∴a的取值范圍為 ．
所以答案是： ．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數奇偶性的性質的相關知識，掌握在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．