Question

已知等比數(shù)列{a_n}，S_n是其前n項(xiàng)的和，且a₁+a₃=5，S₄=15．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）設(shè)bn=

5

2

+log2an，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n
（III）比較（II）中T_n與

1

2

n3+2（n=1，2，3…）的大小，并說明理由．

Answer 1

分析：（I）設(shè){a_n}的公比為q，則由題意知a₁+a₃=a₁+a₁q²=a₁（1+q²）=5，S₄-（a₁+a₃）=a₂+a₄=a₁q（1+q²）=10，由此可知a_n=2^n-1．
（II）由題意知，bn=

5

2

+log22n-1=

5

2

+(n-1)=n+

3

2

，由此可知Tn=

n(b1+bn)

2

=

n(n+4)

2

．
（III）由(

1

2

n3+2)-Tn=

1

2

(n3-n2-4n+4)=

1

2

(n-1)(n-2)(n+2)知當(dāng)n=1、2時(shí)，T_n=

1

2

n3+2；當(dāng)n≥3時(shí)T_n＜

1

2

n3+2．

解答：解：（I）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，則
方法一：a₁+a₃=a₁+a₁q²=a₁（1+q²）=5，S₄-（a₁+a₃）=a₂+a₄=a₁q（1+q²）=10（2分）
∴q=2，a₁=1，則a_n=2^n-1（4分）
方法二：易知q≠1，則a₁+a₃=a₁+a₁q²=a₁（1+q²）=5S4=

a1(1-q4)

1-q

=

a1(1-q)(1+q)(1+q2)

1-q

=a1(1+q)(1+q2)=15，
則1+q=3（2分）
（以下同方法一）（4分）
（II）由（I）可得，bn=

5

2

+log22n-1=

5

2

+(n-1)=n+

3

2

，
所以數(shù)列{b_n}是一個(gè)以

5

2

為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列（5分）
∴Tn=

n(b1+bn)

2

(6分)
=

n( 5 2 +n+ 3 2 )

2

=

n(n+4)

2

(9分)
（III）∵(

1

2

n3+2)-Tn=

1

2

(n3-n2-4n+4)=

1

2

(n-1)(n-2)(n+2)（11分）
∴當(dāng)n=1、2時(shí)，

1

2

(n-1)(n-2)(n+2)=0，即T_n=

1

2

n3+2（12分）
當(dāng)n≥3時(shí)，

1

2

(n-1)(n-2)(n+2)＞0，即T_n＜

1

2

n3+2（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要注意審題，仔細(xì)解答．