Question

設函數(shù)f（x）=2|x-1|-|x+2|．
（1）求f（x）≤6的解集．
（2）若f（x）≥m對任意x∈R恒成立，求m的范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法,函數(shù)恒成立問題

專題：計算題,不等式的解法及應用

分析：（1）通過對x范圍的分類討論，去掉函數(shù)f（x）=2|x-1|-|x+2|中的絕對值符號，再解相應的不等式f（x）≤6，最后取其并集即可；
（2）依題意，可求得f（x）_min=-3，從而可求m的范圍．

解答： 解：（1）∵2|x-1|-|x+2|≤6，
不等式等價于：

x＜-2 2(1-x)+(x+2)≤6

或

-2≤x≤1 2(1-x)-(x+2)≤6

或

x＞1 2(x-1)-(x+2)≤6

，
等價于

x＜-2 x≥-2

或

-2≤x≤1 x≥-2

或

x＞1 x≤10

；
∴不等式的解集為[-2，10]；
（2）由（1）知f（x）=

4-x，(x＜-2) -3x，(-2≤x≤1) x-4，(x＞1)

，
當x＜-2時，f（x）=4-x＞6；
當-2≤x≤1時，f（x）=-3x∈[-3，6]；
當x＞1時，f（x）=4-x＞-3，
∴函數(shù)最小值為-3，
∵f（x）≥m對任意x∈R恒成立，
∴m≤-3．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，著重考查分類討論思想與等價轉(zhuǎn)化思想的綜合運用，考查運算求解能力，屬于中檔題．