Question

已知橢圓是拋物線

的一條切線。

   （I）求橢圓的方程；

   （II）過點(diǎn)的動(dòng)直線L交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)T，使得以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)T？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（I）由

因直線相切

                                                                                            

故所求橢圓方程為                                                       

   （II）當(dāng)L與x軸平行時(shí)，以AB為直徑的圓的方程：

                                                                      

當(dāng)L與x軸平行時(shí)，以AB為直徑的圓的方程：                  

由

即兩圓相切于點(diǎn)（0，1）

因此，所求的點(diǎn)T如果存在，只能是（0，1）                                   

事實(shí)上，點(diǎn)T（0，1）就是所求的點(diǎn)，證明如下。

當(dāng)直線L垂直于x軸時(shí)，以AB為直徑的圓過點(diǎn)T（0，1）

若直線L不垂直于x軸，可設(shè)直線L：

由

記點(diǎn)、                          

                                                 

所以TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)T（0，1）

所以在坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn)T（0，1）滿足條件。