Question

【題目】如圖，某植物園內(nèi)有一塊圓形區(qū)域，在其內(nèi)接四邊形內(nèi)種植了兩種花卉，其中區(qū)域內(nèi)種植蘭花，區(qū)域內(nèi)種植丁香花，對(duì)角線BD是一條觀賞小道．測(cè)量可知邊界，， ．

（1）求觀賞小道BD的長及種植區(qū)域的面積；

（2）因地理?xiàng)l件限制，種植丁香花的邊界BC，CD不能變更，而邊界AB，AD可以調(diào)整，使得種植蘭花的面積有所增加，請(qǐng)?jiān)?/span>BAD上設(shè)計(jì)一點(diǎn)P，使得種植區(qū)域改造后的新區(qū)域（四邊形）的面積最大，并求出這個(gè)面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1），面積為；（2）當(dāng)為等邊三角形時(shí)，新區(qū)域的面積最大，最大值為．

【解析】

（1）設(shè)，利用余弦定理和圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，建立方程求解即可；

（2）利用同弧所對(duì)的圓周角相等，得，設(shè)，，則，接著利用余弦定理和基本不等式可求最大值.

（1）設(shè)，則由余弦定理得，

．

由四邊形是圓內(nèi)接四邊形得，

故，即，

解得（負(fù)值舍去），即．

從而，所以，，

故．

答：觀賞小道BD的長為，種植區(qū)域的面積為．

（2）由（1）及“同弧所對(duì)的圓周角相等”得．

設(shè)，，

則．

在中，由余弦定理有

，

故（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）．

而，

因此，種植區(qū)域改造后的新區(qū)域的面積的最大值為．

答：當(dāng)為等邊三角形時(shí)，新區(qū)域的面積最大，最大值為．