在Rt△ABC中,∠CAB=90°,AB=2,AC=
2
2
,一曲線E過C點,動點P在曲線E上運動,且保持|PA|+|PB|的值不變.
(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求曲線E的方程;
(2)直線l:y=x+t與曲線E交于M,N兩點,求四邊形MANB的面積的最大值.
分析:(1)以AB為x軸,以AB中點為原點O建立直角坐標(biāo)系.由|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=
2
2
+
22+(
2
2
)2
=2
2
,知動點軌跡為橢圓,由此能求出其方程.
(2)將y=x+t代入方程
x2
2
+y2=1,得3x2+4tx+2t2-2=0.設(shè)M(x1,y1)、N(x2,y2),再由根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系進行求解.
解答:解:(1)以AB為x軸,以AB中點為原點O建立直角坐標(biāo)系.
∵|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=
2
2
+
22+(
2
2
)2
=2
2
,
∴動點軌跡為橢圓,且a=
2
,c=1,從而b=1.
∴方程為
x2
2
+y2=1
(2)將y=x+t代入方程
x2
2
+y2=1,得3x2+4tx+2t2-2=0.
設(shè)M(x1,y1)、N(x2,y2),
∴△=16t2-4•3•(2t2-2)>0①,
x1+x2=-
4t
3
②,
x1x2=
2t2-2
3
③,
由①得t2<3,
∴SMANB=
1
2
|AB||y1-y2|=|y1-y2|=|x1-x2|=
2
3
6-2t2
點評:本題考查圓錐曲線和直線的位置關(guān)系和應(yīng)用,解題時要注意公式的靈活運用.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在直角坐標(biāo)系xOy中,
i
j
分別是與x軸,y軸平行的單位向量,若在Rt△ABC中,
AB
=
i
+
j
AC
=2
i
+m
j
,則實數(shù)m=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,則
AB
AC
=( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•昌平區(qū)一模)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=2,D是BC的中點,那么(
AB
-
AC
)•
AD
=
2
2
;若E是AB的中點,P是△ABC(包括邊界)內(nèi)任一點.則
AD
EP
的取值范圍是
[-9,9]
[-9,9]

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,且AD:BD=9:4,則AC:BC=
3:2
3:2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(幾何證明選講選做題)
如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,E為AB上一點,以BE為直徑作圓O剛好與AC相切于點D,若AB:BC=2:1,  CD=
3
,則圓O的半徑長為
2
2

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同步練習(xí)冊答案