Question

如圖：長(zhǎng)方形所在平面與正所在平面互相垂直，分別為的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）試問(wèn)：在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面？若存在，試指出點(diǎn) 
的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（Ⅰ）證明過(guò)程詳見試題解析；（Ⅱ）存在點(diǎn)，且時(shí)，使得平面平面.

試題分析：（Ⅰ）連結(jié)交于,連結(jié)，那么在中，有是的一條中位線.從而.又,所以平面；（Ⅱ）由題意易得平面,要探索是否存在點(diǎn)，使得平面平面，就是要考慮是否存在點(diǎn)，使得成立.
試題解析：（Ⅰ）證明：連結(jié)交于,連結(jié).因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033135983399.png" style="vertical-align:middle;" />是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn).所以是的一條中位線，因此，又,所以平面.
（Ⅱ）存在點(diǎn)，且時(shí)，使得平面平面.證明如下：
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033135375483.png" style="vertical-align:middle;" />是正三角形，是的中點(diǎn)，所以.
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033136264630.png" style="vertical-align:middle;" />.所以.由,所以平面.
又因?yàn)殚L(zhǎng)方形中，要使得，則由與相似得到點(diǎn)是的中點(diǎn).
所以,又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033136436627.png" style="vertical-align:middle;" />,所以平面平面.