Question

如圖：已知△PAB所在的平面與菱形ABCD所在的平面垂直，且PA=PB=

2

2

AB，∠ABC=60°，E為AB的中點．   
（Ⅰ）證明：CE⊥PA；
（Ⅱ）若F為線段PD上的點，且EF與平面PEC的夾角為45°，求平面EFC與平面PBC夾角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）證明：在菱形ABCD中，∵∠ABC=60°
∴△ABC為正三角形，
又∵E為AB的中點
∴CE⊥AB，
∵平面PAB⊥平面ABCD，AB為平面PAB與平面ABCD的交線，
∴CE⊥平面PAB，
又∵PA?平面PAB
∴CE⊥PA…（4分）
（Ⅱ）∵PA=PB，E為AB的中點，
∴PE⊥AB，
又∵PE⊥CE，AB∩CE=E
∴PE⊥平面ABCD，
以E為坐標原點，EB，EC，EP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系如圖所示
設AB=2，則PA=PB=

2

，EP=EA=EB=1，EC=

3

，
∴E（0，0，0），B（1，0，0，），C（0，

3

，0），P（0，0，1），D（-2，

3

，0）
設

EF

=

EP

+k

PD

，其中0≤k≤1，則

EF

=(-2k，

3

k，1-k)，
∵

EB

=(1，0，0)為平面PEC的法向量，
∴

2

2

=|cos(

EF

，

EB)|

，得k=

1

2

，
即F是PD的中點，∴F（-1，

3

2

，

1

2

）…（9分）
設

n

=(x，y，z)為平面EFC的法向量，則

n • EF =0 n • EC =0

-x+ 3 2 y+ 1 2 z=0 3 y=0

 令z=2，得x=1，取

n

=(1，0，2)，
設

m

=(x1，y1，z1)為平面PBC的法向量，則

m • PB =0 m • PC =0

 得出

x1-z1=0 3 y1-z1=0

令z₁=1，得x1=1，y1=

3

3

，取

m

=(1，

3

3

，1)，
設平面EFC與平面PBC夾角為θ，則cosθ=|cos（

n

，

m

）|=|

n • m

| n |•| m |

|=

3 105

35

…（12分）