Question

不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)镈_n，若D_n內(nèi)的整點(diǎn)（整點(diǎn)即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）個(gè)數(shù)為a_n（n∈N^*）
（1）寫出a_n+1與a_n的關(guān)系（只需給出結(jié)果，不需要過程），
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)數(shù)列a_n的前n項(xiàng)和為S_n且，若對一切的正整數(shù)n，總有T_n≤m成立，求m的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）不等式組所表示的平面區(qū)域D_n的整點(diǎn)個(gè)數(shù)歸納可得a_n+1-a_n=10；
（2）根據(jù){a_n}是首項(xiàng)為15，公差為10的等差數(shù)列，從而求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）求出數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，則=，然后T_n+1-T_n的符號(hào)可得T₂=2是最大值，從而求出m的取值范圍．
解答：解：（1）不等式組（n∈N^*）所表示的平面區(qū)域D_n的整點(diǎn)個(gè)數(shù)
∴a_n+1-a_n=10即{a_n}為等差數(shù)列
（2）∵{a_n}是首項(xiàng)為15，公差為10的等差數(shù)列
∴a_n=15+（n-1）×10=10n+5
（3）S_n==5n²+10n
∴=
∴T_n+1-T_n=-=
當(dāng)n≥2時(shí)，T_n+1-T_n＜0
即T_n≤T₂=2≤m
∴m的取值范圍為m≥2．
點(diǎn)評：本題主要考查了數(shù)列與不等式的綜合，以及等差數(shù)列的求和，同時(shí)考查了數(shù)列的最值，屬于中檔題．