Question

設函數(shù)f（x）=ax-（a+1）ln（x+1），其中a＞0．
（1）求f（x）的單調區(qū)間；
（2）當x＞0時，證明不等式：

x

1+x

＜ln(x+1)＜x．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）=ax-（a+1）ln（x+1），其中a＞0，知函數(shù)f（x）的定義域為（-1，+∞），且f′(x)=

ax-1

x+1

(a＞0)，由f′（x）=0，得x=

1

a

．列表討論，能求出f（x）的單調區(qū)間．
（Ⅱ）設?(x)=ln(x+1)-

x

1+x

，x∈[0，∞)，得：?′(x)=

1

x+1

-

1

(1+x)2

=

x

(1+x)2

，由此能夠證明

x

1+x

＜ln(x+1)＜x．

解答：解：（1）由已知得函數(shù)f（x）的定義域為（-1，+∞），且f′(x)=

ax-1

x+1

(a＞0)，
令f'（x）=0，解得x=

1

a

當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	(-1， 1 a )	1 a	( 1 a ，+∞)
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

由上表可知，當x∈(-1，

1

a

)時，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）在(-1，

1

a

)內單調遞減，
當x∈(

1

a

，+∞)時，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）在(

1

a

，+∞)內單調遞增，
∴函數(shù)f（x）的單調減區(qū)間是(-1，

1

a

)，函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間是(

1

a

，+∞)
（2）設?(x)=ln(x+1)-

x

1+x

，x∈[0，∞)
對?（x）求導，得：?′(x)=

1

x+1

-

1

(1+x)2

=

x

(1+x)2

當x＞0時，?′（x）＞0，
∴?（x）在（0，+∞）內是增函數(shù)．
∴?（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)．
當x＞0時，?（x）＞?（0）=0，
即ln(x+1)-

x

1+x

＞0，
∴

x

1+x

＜ln(x+1)
同理可證ln（x+1）＜x，
∴

x

1+x

＜ln(x+1)＜x．

點評：本題考查函數(shù)的單調區(qū)間的求法，考查不等式的證明，考查推理論證能力，考查運算推導能力，考查等價轉化思想，考查分類討論思想．解題時要認真審題，仔細解答，注意導數(shù)性質的綜合應用．