Question

平面四邊形ABCD中，AB=

3

，AD=DC=CB=1，△ABD和△BCD的面積分別為S，T，則S²+T²的最大值是

7

8

．

Answer 1

分析：先利用余弦定理求出cosA和cosC的關(guān)系，再用含角A，C的面積公式求出S²+T²，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為cosA的二次函數(shù)，即可求出最大值．

解答：解：由題意，S=

3

2

sinA，T=

1

2

sinC
∵BD2=4-2

3

cosA=2-2cosC
∴cosC=

3

cosA-1
∴S²+T²=

3

4

sin2A+

1

4

sin2C=

3

4

sin2A+

1

4

[1-(

3

cosA-1)2 ]
=-

3

2

cos2A+

3

2

cosA+

3

4

=-

3

2

(cosA-

3

6

)2+

7

8

∴cosA=

3

6

時，S²+T²的最大值是

7

8

故答案為：

7

8

點評：本題以平面四邊形為載體，考查余弦定理的運用，考查三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為cosA的二次函數(shù)．